Obliczanie obwodu prostokąta

[Petermus]

Mam problem z takim zadaniem:

W pewnym prostokącie przekątna ma długość d i tworzy z jednym z boków kąt alpha . Oblicz obwód tego prostokąta, jeśli:

a) \(\displaystyle{ d=9cm}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha = 0,6}\)
b) \(\displaystyle{ d= 2 \frac{1}{3} cm, \sin \alpha = \frac{1}{7}}\)
c) \(\displaystyle{ d= 2 \sqrt{17} cm, \tg \alpha =0,25}\)
d) \(\displaystyle{ d= 4 \sqrt{5} cm, \ctg \alpha =3}\)

Proszę o pomoc.

[matshadow]

W każdym z tych przypadków odszukaj co masz dane, i przekształć dany wzór (a to krótszy bok, b to dłuższy bok, przekątna tworzy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) z dłuższym bokiem)
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\frac{a}{d}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{b}{d}}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha=\frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}}\)

[Petermus]

Czy ktoś może mi pomóc w wykonaniu przykładu b, c i d, ponieważ nie wychodzą mi wyniki, takie jakie są w książce.

[matshadow]

do b: skorzystaj z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha=1}\)

do c: jedynka trygonometryczna i \(\displaystyle{ \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\)

do d: jedynka trygonometryczna i \(\displaystyle{ \ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}\)

[Petermus]

Czy mógłbyś mi napisać te równania? Ja nie miałem w szkole tych jedynek trygonometrycznych i nie wiem o co w tym chodzi.

[matshadow]

b)

\(\displaystyle{ d=\frac{7}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{a}{d}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{7}=\frac{a}{\frac{7}{3}}\Rightarrow a=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha \\
\sin^2\alpha=\frac{1}{49}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{7}\iff\frac{b}{d}=\frac{4\sqrt{3}}{7}\Rightarrow b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ Obwód=2(a+b)=\frac{2}{3}\cdot (4\sqrt{3}+1)}\)

c)
\(\displaystyle{ d=2\sqrt{17}}\)
\(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{1}{4}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\Rightarrow\cos\alpha=4\sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\cos\alpha=4\sin\alpha\Rightarrow\cos^2\alpha=16\sin^2\alpha\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 17\sin^2\alpha=1\Rightarrow\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{a}{d}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{a}{2\sqrt{17}}\Rightarrow a=2}\)
\(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{a}{b}=\frac{1}{4}\Rightarrow b=8}\)
\(\displaystyle{ Obwód=2(a+b)=20}\)

d)
\(\displaystyle{ d=4\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=3\Rightarrow\cos\alpha=3\sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
\cos\alpha=3\sin\alpha\Rightarrow\cos^2\alpha=9\sin^2\alpha\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 10\sin^2\alpha=1\Rightarrow\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{a}{d}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{a}{d}\Rightarrow a=\sqrt{8}}\)
\(\displaystyle{ \cot\alpha=\frac{b}{a}=3\Rightarrow b=3\sqrt{8}}\)
\(\displaystyle{ Obwód=2(a+b)=8\sqrt{8}}\)

[Theosdoron]

Ps.
Nie znając jeszcze zależności trygonometrycznych, po obliczeniu np. w przykładzie
b)Bok a obliczamy wg
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{a}{d}}\)
\(\displaystyle{ {a} = \frac{1}{3}}\)
Bok \(\displaystyle{ b}\) prostokąta obliczamy z Tw.Pitagorasa...
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}= d ^{2}}\)
...powodzenia...
Ponadto w przykładzie d) jest błąd
\(\displaystyle{ {obw}= 16\sqrt{2}}\)