Obliczanie długości boków

[Petermus]

Mam problem w wykonaniu takiego zadania:

W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) leży przyprostokątna długości a. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta, jeśli:

a)
a=3cm, cos\(\displaystyle{ \alpha}\)=\(\displaystyle{ \frac{8}{17}}\)

b)
a=\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)cm, cos\(\displaystyle{ \alpha}\)=0,5.

Proszę o pomoc.

[garb1300]

Wskazówki:
\(\displaystyle{ sin = \sqrt{1-cos ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ sin = \frac{a}{c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a} =ctg = \frac{cos }{sin }}\)

[Petermus]

Przykład a) udało mi się zrobić, natomiast w przykładzie b) wyniki mi nie wychodzą. Proszę o pomoc.

[aga92]

\(\displaystyle{ sin = \sqrt{1-cos^{2} }=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin = \frac{\sqrt{6}}{c}}\)
Stąd obliczasz \(\displaystyle{ c=2 \sqrt{2}}\).

[Petermus]

A skąd się wzięło to \(\displaystyle{ \sqrt{1-cos ^{2}\alpha }}\)?

[ Dodano: 5 Kwietnia 2008, 13:15 ]
I czy mogłabyś rozpisać to równanie? Ja je rozwiązuje i chyba gdzieś popełniam błąd, bo mi takie wyniki nie wychodzą.

[aga92]

Z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ sin^{2} \alpha+cos^{2} \alpha = 1 \rightarrow sin^{2} \alpha = 1-cos^{2} \alpha \rightarrow |sin \alpha| = \sqrt{1-cos^{2} \alpha}}\)

Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ostry, dlatego \(\displaystyle{ sin \alpha >0}\), czyli

\(\displaystyle{ sin = \sqrt{1-cos^{2} }\)


\(\displaystyle{ sin = \sqrt{1-cos^{2} }= \sqrt{1-(\frac{1}{2})^{2}}= \sqrt{1-\frac{1}{4}}= \sqrt{ \frac{3}{4}}=\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin = \frac{a}{c} = \frac{ \sqrt{6}}{c}}\) i \(\displaystyle{ sin = \frac{ \sqrt{3}}{2}}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}}{2}=\frac{ \sqrt{6}}{c}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} c = \sqrt{6} 2}\)
\(\displaystyle{ c = \frac{2 \sqrt{6}}{ \sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ c = 2 \sqrt{2}}\)[/latex]

[Petermus]

Ale w odpowiedziach jest napisane, że mam uzyskać takie wyniki: \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\). Wieć ten pierwszy wynik jest chyba błędny.

[aga92]

Nie, bo c to przeciwprostokątna. Teraz możesz np. z twierdzenia Pitagorasa mieć coś takiego:
\(\displaystyle{ (\sqrt{6})^{2} + b^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ 6+b^{2}=8}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt{2}}\)
gdzie b to druga przyprostokątna