Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \sin ^2x + \cos x}\) ,dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)
a) rozwiąż równanie \(\displaystyle{ f(x)=1}\) w przedziale
b) wyznacz najwiekszą wartość funkcji f
Dana jest funkcja f(x)
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 30 mar 2008, o 13:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bydgoszcz
Dana jest funkcja f(x)
Ostatnio zmieniony 11 lis 2012, o 23:37 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Dana jest funkcja f(x)
a) Mamy \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos x=1}\), więc \(\displaystyle{ \cos x=1-\sin^2x}\). Stąd i z jedynki trygonometrycznej dostajemy \(\displaystyle{ \cos x=\cos^2x}\), czyli \(\displaystyle{ \cos^2x-\cos x=0}\). Stąd \(\displaystyle{ \cos x(\cos x-1)=0}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ \cos x=0}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=1}\). Łatwo dostajemy rozwiązania należące do przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\): \(\displaystyle{ x=0,\ x=\frac{1}{2}\pi,\ x=\frac{3}{2}\pi,\ x=2\pi}\).
b) Mamy \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x}\), więc
Wystarczy zatem znaleźć największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Zbadajmy, czy do przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\) należy odcięta wierzchołka paraboli będącego wykresem funkcji \(\displaystyle{ g}\). Mamy \(\displaystyle{ t_w=-\frac{1}{2(-1)}=\frac{1}{2}\in[-1,1]}\). Ponieważ ramiona paraboli będącej wykresem funkcji \(\displaystyle{ g}\) są skierowane do dołu, więc największa wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest jej wartością dla \(\displaystyle{ t_w}\). W konsekwencji mamy
b) Mamy \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x}\), więc
\(\displaystyle{ f(x)=1+\cos x-\cos^2x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(x)=g(\cos x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją kwadratową określoną wzorem \(\displaystyle{ g(t)=1+t-t^2}\).
Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest określona na zbiorze wartości funkcji kosinus, tj dla \(\displaystyle{ t\in[-1,1]}\).Wystarczy zatem znaleźć największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Zbadajmy, czy do przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\) należy odcięta wierzchołka paraboli będącego wykresem funkcji \(\displaystyle{ g}\). Mamy \(\displaystyle{ t_w=-\frac{1}{2(-1)}=\frac{1}{2}\in[-1,1]}\). Ponieważ ramiona paraboli będącej wykresem funkcji \(\displaystyle{ g}\) są skierowane do dołu, więc największa wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest jej wartością dla \(\displaystyle{ t_w}\). W konsekwencji mamy
\(\displaystyle{ f_{\max}=g(\frac{1}{2})=\frac{5}{4}}\).
Dana jest funkcja f(x)
Skąd ta część \(\displaystyle{ 1-\cos^2x+\cos x}\) ?b) Mamy \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x}\), więc...
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy