Dana jest funkcja f(x)

[wecherek89]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \sin ^2x + \cos x}\) ,dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)
a) rozwiąż równanie \(\displaystyle{ f(x)=1}\) w przedziale
b) wyznacz najwiekszą wartość funkcji f

[lukasz1804]

a) Mamy \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos x=1}\), więc \(\displaystyle{ \cos x=1-\sin^2x}\). Stąd i z jedynki trygonometrycznej dostajemy \(\displaystyle{ \cos x=\cos^2x}\), czyli \(\displaystyle{ \cos^2x-\cos x=0}\). Stąd \(\displaystyle{ \cos x(\cos x-1)=0}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ \cos x=0}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=1}\). Łatwo dostajemy rozwiązania należące do przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\): \(\displaystyle{ x=0,\ x=\frac{1}{2}\pi,\ x=\frac{3}{2}\pi,\ x=2\pi}\).

b) Mamy \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x}\), więc

\(\displaystyle{ f(x)=1+\cos x-\cos^2x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(x)=g(\cos x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją kwadratową określoną wzorem

\(\displaystyle{ g(t)=1+t-t^2}\).

Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest określona na zbiorze wartości funkcji kosinus, tj dla \(\displaystyle{ t\in[-1,1]}\).
Wystarczy zatem znaleźć największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Zbadajmy, czy do przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\) należy odcięta wierzchołka paraboli będącego wykresem funkcji \(\displaystyle{ g}\). Mamy \(\displaystyle{ t_w=-\frac{1}{2(-1)}=\frac{1}{2}\in[-1,1]}\). Ponieważ ramiona paraboli będącej wykresem funkcji \(\displaystyle{ g}\) są skierowane do dołu, więc największa wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest jej wartością dla \(\displaystyle{ t_w}\). W konsekwencji mamy

\(\displaystyle{ f_{\max}=g(\frac{1}{2})=\frac{5}{4}}\).

[mp94]

b) Mamy \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x}\), więc...

Skąd ta część \(\displaystyle{ 1-\cos^2x+\cos x}\) ?

[lukasz1804]

Z jedynki trygonometrycznej.