(3 zadania) Rozwiaż równania trygonometryczne

truskafka · Post autor: **truskafka** » 24 sie 2004, o 11:11

Wykazać, że jeżeli:

1. x,y,z są kątami ostrymi i tgx=1/2 ; tgy=1/5 ; tgz=1/8 to
x+y+z=45 stopni

2. x+y+z=pi to
(sinx+siny-sinz)/(sinx+siny+sinz)=tg(x/2)*tg(y/2)

3. x+y+z=pi/2 to
siny+sinz-cosx=4sin((pi/4)-(x/2))*sin(y/2)*sin(z/2)

Yavien · Post autor: **Yavien** » 24 sie 2004, o 12:25

1. x,y,z są kątami ostrymi i tgx=1/2 ; tgy=1/5 ; tgz=1/8 to
x+y+z=45 stopni

Stosujemy dwa razy wzór na tangens sumy kątów:
tg(x+y) = (tg(x) + tg(y))/(1-tg(x)tg(y)) = 7/9
tg(x+y+z) = (tg(x+y) + tg(z))/(1-tg(x+y)tg(z)) = 65/65 = 1 >0

I teraz mam zagwozdkę, bo x+y+z moze być według mnie równe
45 lub 180 + 45 = 225 stopni...

2. x+y+z=pi to
(sinx+siny-sinz)/(sinx+siny+sinz)=tg(x/2)*tg(y/2)

z = PI - (x+y), zatem
sinz = sin(PI-(x+y)) = sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny
(sinx+siny-sinz)/(sinx+siny+sinz) =
= (sinx+siny-(sinxcosy +cosxsiny))/(sinx+siny+sinxcosy +cosxsiny) =
= (sinx(1-cosy) +siny(1-cosx))/(sinx(1+cosy)+siny(1+cosx) =
ze wzoru : tg(x/2) = sinx/(1+cosx) = (1-cosx)/sinx
moze uda sie doprowadzic prawa strone do czegos podobnego.
Przepraszam, ale nie mam wiecej czasu, nie moge dokonczyc.
Trzecie robi sie pewnie podobnymi technikami, wykorzystujac wzory na sumy/roznice.

Gość · Post autor: **Gość** » 24 sie 2004, o 12:32

otoz nie moze byc 225 bo w przedziale (0,90) tg x jest roznowartosciowy
wiec rownanie tgx=a moze miec tylko jedno rozwiazanie.
takoz x ,y,z sa wyznaczone jednoznacznie i x+y+z tez jest wyznaczone jedno znacznie

co do tego zadania to proponowałbym zrobic je geometrycznie narysuj sobie krate korzystaj z definicji tangensa i zloz te katy w jeden powinno wyjsc. zaraz to sprawdze

Gość · Post autor: **Gość** » 24 sie 2004, o 13:14

tak trojkat o wspolrzendnych 0,0 5,1 -5,4 ma katy
135 , y+z, x sprawdź to!!!

Yavien · Post autor: **Yavien** » 24 sie 2004, o 15:22

nie było podane, że x+y+z jest z zakresu 0,90. Z samego równania wynikają dwa rozwiązania, a uzasadnienie, która to jest z możliwości nie nasuneło mni się od razu, co zaznaczyłam, że mam watpliwości.
ale już mam:
0< x 0 < x+y < 90 lub 180 < x+y < 270 tę drugą mozliwość wyklucza (*),
zatem
0 < x+y < 90
mamy ponadto, że 0 < z < 90
analogiczne rozumowanie:
0 < x+y+z < 180 (**) oraz
tg(x+y+z)> 0 --> 0 < x+y+z < 90 lub ta druga możliwość, wykluczona przez (**)
zatem
0 < x+y+z < 90 i tg (x+y+z) = 1 stąd
x+y+z = 45
(wszystkie miary kątów w stopniach)

Gość · Post autor: **Gość** » 24 sie 2004, o 16:37

Anonymous pisze:tak trojkat o wspolrzendnych 0,0 5,1 -5,4 ma katy
135 , y+z, x sprawdź to!!!

oczywiscie wkradł sie blad ale sproboj wyznaczyc trojkat o katach
135, x+y, z
135 x+z, y
135 y+z ,x

w ukladzie wspolrzendnych

truskafka · Post autor: **truskafka** » 29 sie 2004, o 14:37

sorry, ale sobie nie poradziłam z drugim ani z trzecim...
może ktoś sobie poradzi...