parametr

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
dwdmp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 17 sty 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin

parametr

Post autor: dwdmp »

Dla jakich wartości parametru m równianie ma trzy rozwiązania z przedziału \(\displaystyle{ (0;2\pi)}\)
\(\displaystyle{ cos ^{3} x-mcosx-m+1=0}\)
Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 208 razy

parametr

Post autor: setch »

Niezależnie od wartości parametru \(\displaystyle{ \cos x=-1}\) jest pierwiastkiem.
\(\displaystyle{ \cos ^3 x+1-m(\cos x+1)=0\\
(\cos x+1)(\cos ^2x-\cos x +1-m)=0\\
\cos x =-1 \cos ^2x-\cos x +1-m=0}\)

W przedziale \(\displaystyle{ (0;2\pi)}\) \(\displaystyle{ \cos x=-1}\) ma tylko jedno rozwiązaniem, zatem \(\displaystyle{ \cos ^2x-\cos x +1-m=0}\) musi mieć dwa, to jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \cos x=a a\in(-1;1)}\), zatem
\(\displaystyle{ t=\cos x t\in \\
t^2-t+1-m=0}\)


Pozostaje teraz tylko rozważyć dla jakich m ostatnie równanie ma dokładnie jeden pierwiastek z przedziału \(\displaystyle{ (-1;1)}\).
ODPOWIEDZ