Wiedzac, ze tg + ctg = 4 oblicz

[Kulfon]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \tg a + \ctg a = 4}\), oblicz:

a) \(\displaystyle{ \left| \tg a - \ctg a \right|}\)
b) \(\displaystyle{ \tg ^{2} a + \ctg ^{2} a}\)
c) \(\displaystyle{ \tg ^{3} a + \ctg ^{3} a}\)
d) \(\displaystyle{ \tg ^{4} a + \ctg ^{4} a}\)

[Wasilewski]

a)
\(\displaystyle{ |\tg a - \ctg a| = x \\
\tg ^2 a - 2\tg a \ctg a + \ctg ^{2}a = (\tg a+\ctg )^2 - 4\tg a \ctg a = 16 - 4 = x^2 \Rightarrow x = 2\sqrt{3}}\)
b) skorzystaj z przykładu a)
c)
\(\displaystyle{ \tg ^3a + \ctg ^3a = (\tg a + \ctg a)(\tg ^2a - \tg a \ctg a + \ctg ^2a)=\ldots}\)
d)Skorzystaj z poprzednich podpunktów:
\(\displaystyle{ \tg ^4a + \ctg ^4a = (\tg ^2a + \ctg ^2a)^2 - 2\tg ^2\arccot ^2a}\)

[tkrass]

\(\displaystyle{ \tg a + \ctg a = 4}\)
\(\displaystyle{ (\tg a + \ctg a) ^{2} = 16}\)
\(\displaystyle{ \tg ^{2} a + 2\tg a \cdot \ctg a + \ctg ^{2} a = 16}\)
\(\displaystyle{ \tg ^{2} a + \ctg ^{2} a = 14}\)

[Rodri]

Powiedzcie mi dlaczego w punkcie a) \(\displaystyle{ -2\tg a\ctg a}\) zamieniło sie w \(\displaystyle{ -4\tg a\ctg a}\) ?

[Peter Zof]

Ponieważ Lewa strona musi być równa prawej
Zobacz, jeżeli masz coś takiego:

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\) to czy to wyrażenie jest równe:
\(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\) ?
NIE! Pierwsze wyrażenie to suma kwadratów dwóch liczb, a drugie wyrażenie to kwadrat sumy.

Tak więc, aby w naszym małym przykładzie lewa strona była równa prawej trzeba....
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab}\)