Równanie z parametrem

Soldat · Post autor: **Soldat** » 25 mar 2008, o 21:22

Witam,

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ x }\) dla których równanie:

\(\displaystyle{ y ^{2} + cos(x)*y + 2 cos^{2}x - 2 = 0}\)

ma dwa pierwiastki takie, że liczba 1 leży miedzy tymi pierwiastkami.

soku11 · Post autor: **soku11** » 25 mar 2008, o 21:51

No to napisze zalozenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x\in[0;\pi]\\
a\neq 0\\
\Delta >0\\
x_1>1\\
x_20\\
x_1-1>0\\
x_2-10\\
(x_1-1)(x_2-1)-8\\
x_1x_2-x_1-x_2+1}\)

A to juz prosto z wzorow Viete'a

POZDRO

JankoS · Post autor: **JankoS** » 25 mar 2008, o 22:16

Soldat pisze:Witam,

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ x }\) dla których równanie:

\(\displaystyle{ y ^{2} + cos(x)*y + 2 cos^{2}x - 2 = 0}\)

ma dwa pierwiastki takie, że liczba 1 leży miedzy tymi pierwiastkami.

Warunki zadania są spełnione, gdy wyróżnik równania jest większy od zera (dwa różne pierwiastki) i pierwsza współrzędna minimum jest równa 1 (jest to "współrzędna" osi symetrii).
Po kolei
\(\displaystyle{ 0 x R}\)
Stad i z warunku dla \(\displaystyle{ x }\) równanie ma dwa różne pierwiastki.
Sprawdzam drugi warunek
\(\displaystyle{ y _{w}=-\frac{cosx}{2}=1 cosx=-2 x \emptyset}\).
Z powyższych
\(\displaystyle{ (x \emptysetx) x \emptyset}\)

Soldat · Post autor: **Soldat** » 25 mar 2008, o 23:01

Janko, przyznam się że nie rozumiem Twojego rozwiązania ale gdzieś musi być błąd. Odpowiedź to \(\displaystyle{ x ( \frac{\pi}{3}; \pi )}\)

Ja utknąłem tu.
\(\displaystyle{ 2cos^{2}x + cosx - 1 < 0}\)

Kurde, trzeba chyba w końcu nadrobić tą trygonometrie bo odbija mi się czkawką.

kojak · Post autor: **kojak** » 25 mar 2008, o 23:12

zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ cosx=t}\) pozdrawiam

soku11 · Post autor: **soku11** » 25 mar 2008, o 23:15

No to dalej podstawiasz:
\(\displaystyle{ \cos x=t\ \ t\in[-1;1]\\
2t^2+t-1\ \ t -1\ \ \ \ \cos x\ \ x\in\left(\frac{\pi}{3};\pi\right]\\
x\in\left(\frac{\pi}{3};\pi\right)\\}\)

Czyli jest wszystko tak jak w odpowiedzi

BTW. JankoS rozwazyles tylko jeden przypadek, bo wierzcholek nie musi byc koniecznie w punkcie 1...

POZDRO

Soldat · Post autor: **Soldat** » 25 mar 2008, o 23:17

Wielkie dzięki, chłopacy
pozdrawiam,

JankoS · Post autor: **JankoS** » 26 mar 2008, o 11:28

soku11 pisze:BTW. JankoS rozwazyles tylko jeden przypadek, bo wierzcholek nie musi byc koniecznie w punkcie 1...

Ma Kolega rację. Coś mi się ubzdurało. Pozdraiwiam.