Równanie

[chasma]

Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ sin ^{4} x +cos ^{4} x = cos2x}\)

Robię tak:
\(\displaystyle{ sin ^{4} x +cos ^{4} x = cos ^{2} x - sin ^{2} x}\)
\(\displaystyle{ sin ^{4} x +sin ^{2} x = cos ^{2} x - cos ^{4} x}\)
wyliczam i otrzymuję:
\(\displaystyle{ sin ^{2} x 0}\)
\(\displaystyle{ cos ^{2} x = sin ^{2} x + 1}\)
\(\displaystyle{ cos ^{2} x = 1 - cos ^{2} x + 1}\)
\(\displaystyle{ 2cos ^{2} x = 2}\)
\(\displaystyle{ cosx = 1 cosx=-1}\)

Po uwzględnieniu dziedziny wyszło mi: \(\displaystyle{ x \o}\). Z racji tego, że to dość dziwny wynik, a nie mam odp do tego równania to czy ktoś mógłby mi je sprawdzić??

[tkrass]

nie wiem czy dobrze ale chyba tak:

\(\displaystyle{ sin ^{4} x + sin ^{2} x=cos ^{2} x - cos ^{4} x}\)
do tego sam doszedłeś

a teraz:
\(\displaystyle{ sin ^{2} x(sin ^{2} x +1)=cos ^{2} x(1- cos ^{2} x)}\)
teraz biore jedynke trygonometryczną i mam:
\(\displaystyle{ cos ^{2}x sin ^{2}x + 2sin ^{4} x=cos ^{2}x sin ^{2}x}\)
\(\displaystyle{ 2sin ^{4} x=0}\)
\(\displaystyle{ sinx=0}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ sin^4x+cos^4x=cos2x\\
(sin^2x)^2+(cos^2x)^2=cos2x\\
(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=cos2x\\
1-2sin^2xcos^2x=cos2x\\
1-\frac{1}{2}sin^22x=cos2x\\
1-\frac{1}{2}(1-cos^22x)=cos2x\\
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos^22x-cos2x=0\\
\frac{1}{2}cos^22x-cos2x+\frac{1}{2}=0\\
t:=cos2x\\
\frac{1}{2}t^2-t+\frac{1}{2}=0\\
t=1\\
cos2x=1\\
r:=2x\\
cosr=1\\
r=2k\pi\\
2x=2k\pi\\
x=k\pi}\)

[tkrass]

to gdzie był mój błąd?