Wyznaczyć wartość parametru...

[chasma]

Wyznaczyć te wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których równanie \(\displaystyle{ sinx+cos(x+ \frac{\pi}{6} ) - \frac{log _{2}a }{log _{2}a-1 } =0}\) ma rozwiązanie.

[lukasz1804]

Aby logarytm miał sens, musi być \(\displaystyle{ a>0}\). Ułamek mianownika jest rózny od zera, więc \(\displaystyle{ \log_2a-1\neq 0}\), czyli \(\displaystyle{ a\neq 2}\).
Zauważmy, że

\(\displaystyle{ \sin x+\cos(x+\frac{\pi}{6})=\sin x+\cos x\cos\frac{\pi}{6}-\sin x\sin\frac{\pi}{6}=\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\sin\frac{\pi}{3}\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{3})}\).

Zatem nasze równanie ma postać:

\(\displaystyle{ \sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{\log_2a}{\log_2a-1}}\).

Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\sin(x+\frac{\pi}{3}}\) jest przedział \(\displaystyle{ [-1,1]}\), to nasze równanie ma rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ -1\leq\frac{\log_2a}{\log_2a-1}\leq 1}\). Ostatnia nierówność jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ -2\leq\frac{1}{\log_2a-1}\leq 0}\). Rozwiązaniem tej nierówności są \(\displaystyle{ a\in(0,\sqrt{2}]}\). Otrzymane wartości parametru są rozwiązaniem zadania.
Pozdrawiam.