2 zadania z trygonometri

[Adamusos]

1) Wykaz, ze jesli a,b,y sa katami trojkata to:

\(\displaystyle{ a) sina+sinb+siny=4cos \frac{a}{2} cos \frac{b}{2} cos \frac{y}{2}}\)

\(\displaystyle{ b) \frac{ctg \frac{a}{2}+ctg \frac{b}{2} }{ctg \frac{b}{2}+ctg \frac{y}{2} } = \frac{siny}{sina}}\)

2) Wykaz, ze:

\(\displaystyle{ sin47 + sin61 -sin11 - sin25 = cos7}\)

[Crizz]

a.) \(\displaystyle{ sin a + sin b + sin y=sin a + sin b + sin(a+b)=sin a + sin b + sinacosb +cosasinb=sin a(1+cos b) + sin b(1+cos a)=2cos ^{2} \frac{b}{2} sin a + 2cos ^{2} \frac{a}{2} sin b=4sin \frac{a}{2} cos \frac{a}{2} cos ^{2} \frac{b}{2} + 4sin \frac{b}{2} cos \frac{b}{2} cos ^{2} \frac{a}{2} =4cos \frac{a}{2}cos \frac{b}{2} (sin \frac{a}{2}cos \frac{b}{2} + sin \frac{b}{2}cos \frac{a}{2})= 4cos \frac{a}{2}4cos \frac{b}{2}4cos \frac{y}{2}}\)

[ Dodano: 24 Marca 2008, 22:23 ]
2: \(\displaystyle{ L=(sin47-sin25)+(sin61-sin11)=2sin25cos36+2sin11cos36=2cos36(sin25+sin11)=4cos36sin18sin7=4cos36cos72cos7=2(cos36+cos108)cos7=2( \frac{ \sqrt{5}+1 }{4} +\frac{ 1- \sqrt{5} }{4})cos7=cos7=P}\)

[yorgin]

Zadanie 2. bez znajomości wartości funkcji
(bede pisać bezsymbli stopni wsystko)
\(\displaystyle{ \sin61+\sin47-\sin11-\sin25=(\sin47-\sin11)+(\sin61-\sin25)=\\
2\sin\frac{47-11}{2}\cos\frac{47+11}{2}+2\sin\frac{61-25}{2}\cos\frac{61+25}{2}=\\
2\sin18\cos29+2\sin18\cos43=2\sin18(\cos29+\cos43)=
2\sin18\cos\frac{29+43}{2}\cos\frac{29-43}{2}=\\
4\sin18\cos36\cos7=
\frac{4\sin18\cos18\cos36\cos7}{\cos18}=
\frac{2\sin36\cos36\cos7}{\cos18}=\frac{\sin72\cos7}{\cos18}=\\
\frac{\cos18\cos7}{\cos18}=\cos7}\)