Dla jakiej wartości parametru a...

[Rohamos]

Dla jakiej wartości parametru a, równanie |sinax|=1 ma dokładnie 3 rozwiązania w przedziale ? Doszedłem do następujących wniosków:

\(\displaystyle{ ax = \frac{pi}{2} ax = \frac{3pi}{2}}\)

Jak można pchnąć to zadanie dalej ? W jaki sposób można wyznaczyć a ?

Pozdrawiam,

[JankoS]

Dla jakiej wartości parametru a, równanie |sinax|=1 ma dokładnie 3 rozwiązania w przedziale ? Doszedłem do następujących wniosków:

\(\displaystyle{ ax = \frac{pi}{2} ax = \frac{3pi}{2}}\)

Jak można pchnąć to zadanie dalej ? W jaki sposób można wyznaczyć a ?

Pozdrawiam,

Jak już to
\(\displaystyle{ ax = \frac{pi}{2} ax = \frac{3pi}{2}}\), bo zdanie w wersji Kolegi jest sprzecznością. Ale to tak na boku.
Naturalną dziedziną sinusa jest zbiór R, więc powinno ono mieć postać
(*)\(\displaystyle{ ax=\frac{k\pi}{2}+2k\pi ax=\frac{3k\pi}{2}+2k\pi, \ k Z}\). Można to zapisać \(\displaystyle{ ax=\frac{k\pi}{2}+k\pi, \ k Z}\). Z warunków zadania \(\displaystyle{ a 0}\) więc mogę podzielić równanie stronami, (chociaż nie wiem, czy to dobry krok). Otrzymuję \(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{2a}+\frac{k}{a}\pi=\frac{3k\pi}{2a}, \ k Z}\). I zaczynają się schodyw postaci nierówność \(\displaystyle{ 0 k Z}\).
"Skądinąd" wiem, że takim a jest 3, tylko nie wiem , czy to jest jedyne rozwiązanie, no i jak to rachunkowo wykazać.

[Rohamos]

A czy \(\displaystyle{ a= \frac{4}{3}}\) nie byłoby rozwiązaniem tegoż równania ? Narysowałem sobie po prostu wykires \(\displaystyle{ y=|\sin x|\ dla x\ }\) i przekształciłem w taki sposób, żeby w tym przedziale zmieściły się trzy "brzuszki" wykresu \(\displaystyle{ y=|\sin x|}\). Nie wiem jednak, czy to jest dobry sposób rozwiązania równania.

[JankoS]

czy nie byłoby rozwiązaniem tegoż równania ?

Aktualnie, to wiem, tylko tyle, że zbiorem rozwiązań jest przedział, w którym między innymi jest rozwiązanue Kolegi. Trzeba coś pomajstrować z okresem tej funkcji - jest on zależny od a.

[Rohamos]

Kurczę, nic innego nie mogę znaleźć. A co do a=3 - czy aby na pewno ? Wówczas równanie w przedziale miałoby 6 rozwiązań...

[JankoS]

Nie 3 nie , to ja się pomyliłem.
Trzeba pomajstrować z okresem funkcji.
Wyznaczyłem okres tej funkcji \(\displaystyle{ T=\frac{2\pi}{a}}\). Żeby objął on trzy "jedynki" musi być \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2} qslant Tqslant \frac{4}{3}}\). Z drugiej strony musi być \(\displaystyle{ Tqslant a}\)

[Rohamos]

Dzięki, już wczoraj w nocy rozwiązałem . Policzyłem to troszkę inaczej. Zauważyłem, że w przedziale \(\displaystyle{ x \in R}\) trzecim pierwiastkiem równania jest \(\displaystyle{ x= \frac{5pi}{2}}\), natomiast czwartym będzie \(\displaystyle{ \frac{7pi}{2}}\). Co z tego wynika ? Ano, że x w naszym przypadku = \(\displaystyle{ \frac{5pi}{2a} \leqslant 2pi}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{7pi}{2a} > 2pi}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{7}{4}>a qslant \frac{5}{4}}\). Ot i całe zadanie .

[JankoS]

Wczoraj byłem w złej formie, co i raz mi się coś myliło, ale podejrzewam, że nawet w innych warunkach nie wpadłbym na to, co Kolega, Chyba ma to jakiś związek z rutyną, Dziękuję za, opublikowanie tego, tak prostego rozwiązanie. Na pewno się komuś przyda.
Pozdrawiam. JanKo