Funkcje i równania trygonometryczne z parametrem.

[alicja90]

Mam problem z paroma zadaniami.

1. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) osiąga minimum równe zero?
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-4 \sqrt{2}cos\alpha\cdot x+4sin2\alpha}\)

2. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) suma kwadratów różnych pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^{2} - 2xsin\alpha - cos^{2}\alpha=0}\) jest równa \(\displaystyle{ 3}\)?

3. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) równanie \(\displaystyle{ sin3x=\frac{k^{2}-3k+2}{k^{2}-2}}\) ma rozwiązania?

Proszę o pomoc.

[arpa007]

2. Dla jakich wartości parametru\(\displaystyle{ \alpha}\) suma kwadratów różnych pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^{2} - 2xsin\alpha - cos^{2}\alpha=0}\) jest równa \(\displaystyle{ 3}\)?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=(- \frac{b}{a})^2 -2 \frac{c}{a}= 4sin^2 \alpha+2cos^\alpha=3 \\ \Delta>0 \end{cases}}\)

[ Dodano: 22 Marca 2008, 16:33 ]

Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ sin3x=\frac{k^{2}-3k+2}{k^{2}-2}}\) ma rozwiązania?

\(\displaystyle{ (k^2-2)sin3x=k^2-3k+2, k^2-2 0 k ( \frac{+}{-})\sqrt{2}\\k^2-sin3x k^2-3k+2+2sin3x=0 , k ( \frac{+}{-})\sqrt{2}\\(1-sin3x)k^2-3k+2(sin3x+1)}\)

[alicja90]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=(- \frac{b}{a})^2 -2 \frac{c}{a}= 4sin^2 \alpha+2cos^\alpha=3 \\ \Delta>0 \end{cases}}\)

suma kwadratów a nie kwadrat sumy...
\(\displaystyle{ (x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}=3}\)

niemniej, coś mi sie już urodziło

[robert9000]

arpa007, a w tym 3 nielepiej bedzie poprostu rozwiązać:
\(\displaystyle{ -1 qslant \frac{k^{2}-3k+2}{k^{2}-2} qslant 1}\)

bo taki jest zbiór wasrtści sinusa

[alicja90]

arpa007, a w tym 3 nielepiej bedzie poprostu rozwiązać:
\(\displaystyle{ -1 \leqslant \frac{k^{2}-3k+2}{k^{2}-2} \leqslant 1}\)

bo taki jest zbiór wasrtści sinusa

Zgadza sie Jedno zadanie 'z głowy'.

[robert9000]

1.
to chyba zwykła parabola
gdzie minimum jest to Y wieszchołkowe, w tym przypadku:
\(\displaystyle{ Y_{w}= \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(32cos^{2} \alpha-16sin2\alpha}{4} =0 \Leftrightarrow 32cos^{2}\alpha-16sin2\alpha=0 \Rightarrow 32cos^{2}\alpha=16sin2\alpha \Rightarrow 2cos^{2}\alpha=sin2\alpha \Rightarrow 2cos^{2}\alpha=2cos\alpha sin\alpha \Rightarrow cos^{2}\alpha=cos\alpha sin\alpha \Rightarrow cos^{2}\alpha-cos\alpha sin\alpha=0 \Rightarrow cos\alpha (cos\alpha-sin\alpha)=0 \Leftrightarrow cos\alpha=0 \ \vee \ cos\alpha=sin\alpha}\)

[ Dodano: 22 Marca 2008, 18:42 ]
a co do 3.
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}= \frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2c}{a} =\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2ca}{a^{2}}= \frac{b^{2}-2ac}{a^{2}} = \frac{4sin^{2}\alpha +2cos^{2}\alpha}{1} =2 sin ^{2}\alpha+2(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha)=2sin^{2}\alpha+2 \cdot 1=2sin^{2}\alpha+2 \\
\\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3 \Leftrightarrow 2sin^{2}\alpha+2=3 \Rightarrow 2sin^{2}\alpha=1 \Rightarrow sin^{2}\alpha= \frac{1}{2}}\)

oczywiście, zeby te pierwiastki były, to
\(\displaystyle{ \Delta>0 \\
4sin^{2}\alpha+4cos^{2}\alpga>0 \\
4(sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha)>0 \\
4>0\\
\Re}\)

czyli musisz rozważyc tylko tamten warunek