Dowód - sin 2alpha

[Brzezin]

Jak to możliwe, że:

\(\displaystyle{ 2\sin * \cos = \sin 2\alpha}\)

Proszę o wyjaśnienie i jakiś dowód.

Z góry dziękuję i pozdrawiam
Maks

[yorgin]

Wystarczy skrzystać ze wzoru
\(\displaystyle{ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}\) dla \(\displaystyle{ a=b=\alpha}\)

[Wasilewski]

To ja może napiszę krótki dowód. Narysuj sobie trójkąt równoramienny o długości ramienia a i kącie \(\displaystyle{ 2\alpha}\) między ramionami. Niech h będzie wysokością opuszczoną na podstawę (jest ona też dwusieczną danego kąta), a \(\displaystyle{ h_2}\) wysokością opuszczoną na ramię. Długość podstawy jest równa:
\(\displaystyle{ b = 2a sin\alpha}\)
Wysokość h:
\(\displaystyle{ h = a cos\alpha}\)
Druga wysokość:
\(\displaystyle{ h_2 = a sin2\alpha}\)
Możemy zapisać wzór na pole tego trójkąta na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} ah_2 \\
bh = ah_2 \\
2asin\alpha cos\alpha = a sin2\alpha \\
sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha}\)

[Zeratul]

Teraz jeszcze uogólnij dowód na każdą wartość \(\displaystyle{ \alpha}\), bo jak na razie zrobiłeś go tylko dla \(\displaystyle{ \alpha ft(0, {\pi \over 4}\right)}\)

Nie jest to trudne, ale gwoli ścisłości...

[Wasilewski]

No to można w układzie współrzędnych. Punkt oddalony od środka układu o r ma współrzędne (x,y) i \(\displaystyle{ \frac{y}{r} = sin\alpha}\)
Robimy obrót o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
Współrzędne wyglądają tak:
\(\displaystyle{ x' = xcos\alpha - ysin\alpha \\
y' = xsin\alpha + ycos\alpha}\)
Mamy też:
\(\displaystyle{ sin2\alpha = \frac{y'}{r} = \frac{x}{r} sin\alpha + \frac{y}{r} cos\alpha = cos\alpha sin\alpha + sin\alpha cos\alpha = 2sin\alpha cos\alpha}\)

[Brzezin]

Przy okazji - proszę o arytmetyczne wyprowadzenie wzoru:
\(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)=\sin \cos \beta+\cos \sin \beta}\)

[Wasilewski]

W jakim sensie arytmetyczne?

[Brzezin]

Mam tu na myśli przedstawienie za pomocą innych tożsamości trygonometrycznych, a nie jak np. na rysunku obok na