arctgx+arcctgx

[revell]

Czy zachodzi: \(\displaystyle{ arctgx + arcctgx=\frac {\pi}{2}}\)?

[natkoza]

tak pokazuje sie to łatwo za pomoca pochodnych

[revell]

Można zauważyć że pochodna takiej funkcji jest równa 0 więc funkcja jest stała, i sprawdzić np. dla x=0 że wartość to \(\displaystyle{ \frac {\pi}{2}}\), tylko to podstawienie wydaje mi sie 'nieodpowiednim' sposobem choć skutecznym...

[natkoza]

jest to dobry sposób i bardzo skuteczny, gdyż (może nieświadomie) ale wykorzystuje tu się bardzo wazny wniosek z jeszcze ważniejszego twierdzenia rachunku różniczkowego jakim jest twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej a tym wnioskiem jest to, że jezeli \(\displaystyle{ f\colon [a,b]\to \mathbb{R}}\) oraz f ciągła na \(\displaystyle{ [a,b]}\) i fóżniczkowalna na \(\displaystyle{ (a,b)}\) i jezeli \(\displaystyle{ \forall_{x\in (a,b)}f'(x)=0}\) to funkcja jest stała.
Więc dowód przedstawiony przez ciebie jest jak najbardziej poprawny i kompletny

[bosa_Nike]

W dziedzinie:
\(\displaystyle{ \arctan x=a,\ \mbox{arccot}\, x=b\ \ \tan a=x=\cot b\ \ \tan a\tan b=1\ }\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin a\sin b}{\cos a\cos b}=\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2}\cdot \frac{2}{\cos (a-b)+\cos (a+b)}=1\ }\)
\(\displaystyle{ -\cos (a+b)=\cos (a+b)\ \ \cos (a+b)=0\ \ a+b=\frac{\pi}{2}}\)

[tr00ci0]

\(\displaystyle{ \frac{\sin a\sin b}{\cos a\cos b}=\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2}\cdot \frac{2}{\cos (a-b)+\cos (a+b)}}\)

Może ktoś wytłumaczyć skąd to się wzięlo?

[mathiu11]

Poszukaj w google wzorów na iloczyn sinusów i cosinusów.

[tr00ci0]

znalazłem masę wzorów, ale żaden mi tutaj nie pasuje... w tym właśnie problem bo wszystko rozumiem co i jak, tylko wzory mi się nie zgadzają

[mathiu11]

Po co mase wzorów jak mówiłem o konkretnych dwóch?