Rozwiąż w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}}\) nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} tg^2x_{i} + \sum_{i=1}^{n}ctg^2x_{i} qslant 2n}\)
probowalem cos z tym zrobic ale nic nie chce mi wyjsc prosze o j akies wskazowki ew rozwiazanie
Nierówność z tg i ctg
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Nierówność z tg i ctg
Znasz nierówności pomiędzy średnimi? Jeśli tak, to spójrz:
\(\displaystyle{ \tan^2 x_i + \cot^2 x_i qslant 2 \sqrt{\tan^2 x_i \cot^2 x_i}= 2 \sqrt{(\tan x_i \cot x_i))^2}=2}\)
Zatem suma z lewej, jeśli oznaczymy ją S:
\(\displaystyle{ S q \sum_{i=1}^{n} (2 \sqrt{(\tan x_i \cot x_i))^2})=2n}\)
Skoro jest zarazem mniejsza lub równa i większa lub równa \(\displaystyle{ 2n}\), to jest dokładnie równa \(\displaystyle{ 2n}\). Zatem w każdej nierówności zachodzi równość, czyli \(\displaystyle{ \tan x_i = \cot x_i = 1}\). Dalej powinieneś sobie poradzić
\(\displaystyle{ \tan^2 x_i + \cot^2 x_i qslant 2 \sqrt{\tan^2 x_i \cot^2 x_i}= 2 \sqrt{(\tan x_i \cot x_i))^2}=2}\)
Zatem suma z lewej, jeśli oznaczymy ją S:
\(\displaystyle{ S q \sum_{i=1}^{n} (2 \sqrt{(\tan x_i \cot x_i))^2})=2n}\)
Skoro jest zarazem mniejsza lub równa i większa lub równa \(\displaystyle{ 2n}\), to jest dokładnie równa \(\displaystyle{ 2n}\). Zatem w każdej nierówności zachodzi równość, czyli \(\displaystyle{ \tan x_i = \cot x_i = 1}\). Dalej powinieneś sobie poradzić