Odległość punktu od wierzchołka kąta

Suszi · Post autor: **Suszi** » 15 cze 2005, o 18:27

Mam takie zadanko:

Wewnątrz kąta o mierze 60° dany jest punkt P. Odległości punktu P od ramion kąta wynoszą "a" i "b". Oblicz odległość P od wierzchołka kąta.

Czy mogę prosić o pomoc?

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 15 cze 2005, o 21:03

Jeśli dobrze rozumiem treść zadania i nic nie namieszałam to odległość ta wynosi:
\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}+(4a+2b)^{\frac{2}{3}}}\) lecz nie chcę wprowadzać w błąd

dem · Post autor: **dem** » 15 cze 2005, o 21:05

karolina25 odsyłam do kursu Tex'a https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3093

Poprawiłem ci zapis.

pozdrawiam.

olazola · Post autor: **olazola** » 15 cze 2005, o 23:32

karolina25 czy możesz napisać jak wyczarowałaś ten wzorek? Bo ja mam trochę inny.

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 16 cze 2005, o 15:54

Wiem gdzie jest błąd jeśli Ci o to chodzi to wyrażenie w nawiasie powinno być do potęgi drugiej a to dopiero podzielone przez trzy a nie tak jak zapisałam do potęgi 2/3. To tylko błąd w zapisie. Przepraszam za błąd miała dobre intencje. Pewnie nauczę się z czasem zapisywać wzory.

olazola · Post autor: **olazola** » 16 cze 2005, o 16:03

Tak czy inaczej mamy coś innego. Moja odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\sqrt{3(a^2+b^2+ab)}}\) dlatego pytałam jakim sposobem otrzymałaś ten wynik.

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 16 cze 2005, o 17:56

To długa historia, choć nie mam pewności, ze dobrze myślę. Niech punkt X będzie rzutem na górne ramię kąta, a Y rzutem na dolne ranię trójkąta, wierzchołek kąta to O, wówczas mamy dane dwa trójkąty prostokątne OPX i OPY. Masz dane, że PX=a i PY=b. Jeśli przedłużysz bok b to w przecięciu się tego przedłużenia z górnym ramieniem kąta otrzymasz punkt Z. Jest to jeden z wierzchołków trójkąta OYZ. Jest to trójkąt prostokątny. Skoro z założenia kąt przy wierzchołku O ma 60 stopni to kąt przy wierzchołku Z ma 30 stopni. W związku z powyższym mając bok a z trójkąta PZX mogę obliczyć bok PZ. Jeśli już to zrobię to mam już obliczony bok YZ. Mam kąt przy wierzchołku O i bok YZ więc mogę obliczyć już bok OX. Później już stosujE twierdzenie Pitagorasa i mam wynik czyli obliczony bok OP. Proste nie? chyba,że gdzieś się wkopałam

olazola · Post autor: **olazola** » 16 cze 2005, o 21:48

karolina25 Twój sbosób prowadzi do mojego wzoru, gdzieś na końcu musiałaś się pomylić w obliczeniach, może napiszę ostatnią równość:
\(\displaystyle{ b^2+\(\frac{2a+b}{\sqrt{3}}\)^2=x^2\\\frac{3b^2+4a^2+4ab+b^2}{3}=x^2\\x=\sqrt{\frac{4(b^2+a^2+ab)}{3}}}\)
Po drobnych przekształceniach i pozbyciu się niewymierności z mianownika otrzymujemy właśnie \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}\sqrt{3(a^2+b^2+ab)}}\)
Mam nadzieję, że się zgadzasz.
Ja robiłam trochę innym sposobem, ale w tym wypadku to już nie ma znaczenia.

krzysiek1412 · Post autor: **krzysiek1412** » 17 cze 2005, o 01:10

Oznaczmy wierzchołek kąta jako O, a punkty przecięcia odcinków od P do ramion kąta odpowiednio jako A i B. Mamy OBP + OAP = 90st+90st=180 st, więc czworokąt OBPA jest wpisany w okrąg Kąty OBP i OAP są proste więc oparte na średnicy.

Wynika z tego że OS=SP=AS=SB=r, gdzie S jest środkiem odcinka OP. Ką ASB ma 120st, gdyż jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co AOB. Z tw. cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ AB^2=a^2+b^2+ab=3r^2}\)
\(\displaystyle{ 2r=OP=2\cdot\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}}\)

Sorry za zapis, pozdrawiam

[Edit: olazola] Nie przepraszaj tylko zapoznaj się z \(\displaystyle{ \TeX^'em}\) . Też robiłam tym sposobem.

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 17 cze 2005, o 07:43

Olazola- masz pewnie rację, liczyłam szybko więc po drodze wkradł się pewnie jakiś błąd arytmetyczny. pozdrawiam.