Rozwiąż nierówność trygonometryczną.

nicola · Post autor: **nicola** » 13 cze 2005, o 08:41

Jak zrobić tą nierówność

\(\displaystyle{ 2 cos^2\frac{x}{2}>1}\)

chyba nie mozna za \(\displaystyle{ cos}\) \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) podstawic t ?

tarnoś · Post autor: **tarnoś** » 13 cze 2005, o 09:14

nicola pisze:chyba nie mozna za cos x/2 podstawic t ?

Jasne że można. Podziel przez dwa. Pamiętaj o kwadracie przy cos i o okresie.

Elvis · Post autor: **Elvis** » 13 cze 2005, o 10:33

Według mnie można kolejno:
- podzielić przez dwa
- spierwiastkować
- użyć wzoru na cosinus połowy kąta
- uprościć

I wyszło mi \(\displaystyle{ cos x > 0}\).

olazola · Post autor: **olazola** » 13 cze 2005, o 14:05

Elvis a spierwiastkuja sobie \(\displaystyle{ (-5)^2=25}\)

tak po prostu nie można zdjąc pierwiastka.

Może pociągnę dalej to rozwiązanie tarnosia:
\(\displaystyle{ \cos^2\frac{x}{2}>\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos^2\frac{x}{2}-\frac{1}{2}>0}\)
podstawienie: \(\displaystyle{ cos^2\frac{x}{2}=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in}\)
\(\displaystyle{ (t-\frac{\sqrt{2}}{2})(t+\frac{\sqrt{2}}{2})>0}\)
\(\displaystyle{ \{t\in(-\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty)\\t\in}\)
\(\displaystyle{ t\in}\)
Następnie podstawienie
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \{-1\leq\cos\alpha<-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos\alpha\leq 1}\)

No i wystarczy takie cos rozwiazać i na koncu wrócić do podstawienia

Elvis · Post autor: **Elvis** » 13 cze 2005, o 14:31

olazola pisze:Elvis a spierwiastkuja sobie \(\displaystyle{ (-5)^2=25}\)

\(\displaystyle{ 2 cos^2 \frac{x}{2} > 1}\)
\(\displaystyle{ cos^2 \frac{x}{2} > \frac{1}{2}}\) - pierwiastkujemy

\(\displaystyle{ |cos (x/2)| > \frac{\sqrt2}{2}}\)
Coś takiego miałem na myśli.

olazola · Post autor: **olazola** » 13 cze 2005, o 14:35

a co z pierwiastkiem z 2?

[ Dodano: Pon Cze 13, 2005 2:37 pm ]
zaraz zaraz, jakoś mało z tego przejścia rozumiem

tarnoś · Post autor: **tarnoś** » 13 cze 2005, o 19:45

Elvis, ciekawie ujęty sposób "pierwiastkowania"

Ale może lepiej nie mieszać i wyrażać się konkretniej....

g · Post autor: g » 13 cze 2005, o 20:34

przeciez to jest rownowazne \(\displaystyle{ \cos x > 0}\)... nikt tam nie widzial \(\displaystyle{ T_2 \left( \cos {x \over 2} \right)}\) ?

olazola · Post autor: **olazola** » 13 cze 2005, o 21:23

Niezła sieczka z tego tematu wyszła. Elvis pozmieniał wszystko tak, ze moje uwagi są z Księżyca i mają się nijak, q coś napisał, ale nie wiem o co tak naprawde chodzi, może jeszcze ktoś ma coś do powiedzenia w tym temacie?

g · Post autor: g » 13 cze 2005, o 22:09

\(\displaystyle{ T_2}\) - drugi wielomian Czebyszewa. chodzi o to, ze \(\displaystyle{ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1}\).