parametr L

[Tinia]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ L}\) suma kwadratów różnych pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^{2}-2x\sin L-\cos ^{2}L=0}\) jest równa 3?

[setch]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1^2+x_2^2=3 \end{cases} \\
\begin{cases} \Delta >0 \\ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3 \end{cases}}\)

[Tinia]

ale to chyba nie jest wszystko...bo do tego też doszłam:(

[M Ciesielski]

skorzystaj ze wzorów Viete'a -> \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{c}{a}}\)

[JankoS]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ L}\) suma kwadratów różnych pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^{2}-2x\sin L-\cos ^{2}L=0}\) jest równa 3?

Lubię Wrocławianki.
Kontynuuję, to co napisał Kolega seth
\(\displaystyle{ \Delta=4\sin ^{2}L+4\cos ^{2}L=4(\sin ^{2}+\cos ^{2}L)=4.}\) Równanie ma zawsze dwa pierwiastki.
\(\displaystyle{ x ^{2} _{1} +x ^{2} _{2} =(x _{1}+x _{2}) ^{2}-2x _{1}x _{2}=(2\sin L) ^{2} +2\cos ^{2}L=2\sin ^{2}L+2\sin ^{2}L+2\cos ^{2}L=2\sin ^{2}L+2= 3 \Leftrightarrow 2\sin ^{2}L-1=0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin L+\frac{ \sqrt{2}}{2})( \sin L-\frac{ \sqrt{2}}{2})=0 \Leftrightarrow (\sin L=-\frac{ \sqrt{2}}{2}=\sin 135 ^{\circ} \vee \sin L=\frac{ \sqrt{2}}{2}=\sin 45 ^{\circ} ) \Leftrightarrow (L=45 ^{\circ}+k \cdot 180 ^{\circ}, \ k \in Z).}\)
Odpowiedź. Suma kwadratów... dla \(\displaystyle{ L=45 ^{\circ}+k \cdot 180 ^{\circ}, \ k}\) - dowolna liczba całkowita.