Rozwiaz Rownanie

[andrzejskurcz]

Pomozcie z rzw tych rownan prosze.

1. \(\displaystyle{ (sinx + cosx)^2 = cos2x}\)

2. \(\displaystyle{ sin^4x + cos^4x = cos4x}\)

3. \(\displaystyle{ sinx + sin3x + sin5x = 0}\)

4. \(\displaystyle{ sinx + sin2x = sin3x}\)

5. \(\displaystyle{ sin^22x = sin3x + sinx}\)

6. \(\displaystyle{ sinx sin2x = cosx cos2x}\)

[NagashTheBlack]

Jakbym się pomylił to niech mnie ktoś poprawi.

Ad 6
\(\displaystyle{ sin x * sin 2x = cos x * cos 2x / :cos x (zakladam, ze cos x 0)}\)
\(\displaystyle{ \frac{2tg ^{2} x }{1 + tg ^{2} x} = \frac{1 - tg ^{2} x}{1 + tg ^{2} x}}\)
\(\displaystyle{ 2tg ^{2} x = 1 - tg ^{2} x}\)
\(\displaystyle{ tg ^{2} x = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ tg x = \frac{ \sqrt{3} }{3} tg x = - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6} + k\pi x = - \frac{\pi}{6} + k\pi}\)

Jak policzę coś jeszcze to dopiszę.

[Wasilewski]

Jak cosx jest równy zero to bywa, że i sin2x się zeruje, więc trzeba dodać to rozwiązanie:
\(\displaystyle{ sin2x = 0 x = \frac{k\pi}{2} \\
cosx = 0 x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\
x = \frac{\pi}{2} + k\pi}\)

[NagashTheBlack]

Zauważ, że dla Twojego rozwiązania przy k = 0 lewa strona nie równa się prawej (\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} 0}\))

Ad 3

\(\displaystyle{ sin x + sin 3x + sin 5x = 0}\)
\(\displaystyle{ 2sin 3x * cos 2x + sin 3x = 0}\)
\(\displaystyle{ sin 3x (2cos 2x + 1) = 0}\)

\(\displaystyle{ sin 3x = 0 cos 2x = - \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{k\pi}{3} x = - \frac{\pi}{6} + k\pi}\)

[andrzejskurcz]

Jakbym się pomylił to niech mnie ktoś poprawi.

Ad 6
\(\displaystyle{ sin x * sin 2x = cos x * cos 2x / :cos x (zakladam, ze cos x 0)}\)
\(\displaystyle{ \frac{2tg ^{2} x }{1 + tg ^{2} x} = \frac{1 - tg ^{2} x}{1 + tg ^{2} x}}\)
\(\displaystyle{ 2tg ^{2} x = 1 - tg ^{2} x}\)
\(\displaystyle{ tg ^{2} x = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ tg x = \frac{ \sqrt{3} }{3} tg x = - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6} + k\pi x = - \frac{\pi}{6} + k\pi}\)

Jak policzę coś jeszcze to dopiszę.

powinno wyjsc \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi}\)

[Wasilewski]

Jak nie?
\(\displaystyle{ L = sin (\frac{\pi}{2})\cdot sin (2\frac{\pi}{2}) = 1 0 = 0 \\
P = cos\frac{\pi}{2}\cdot cos(2 \frac{\pi}{2}) = 0 (-1) = 0 \\
L = P}\)

[NagashTheBlack]

Zwracam honor, wklepałem pi czwartych, a nie drugich

A co do wyniku, jak skleisz to w jedną serię to tak wyjdzie.

[andrzejskurcz]

a mnie w szkole uczono ze jak jest tangens to jest tylko jedna postac czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ x=\pi/6 +k\pi}\)

[Wasilewski]

No i tak jest, po jednej postaci dla każdego wyniku. Zwróć uwagę na to, że tangens był podniesiony do kwadratu.

[andrzejskurcz]

uppps sorki zwracam honor

[NagashTheBlack]

Ad 4

sin 3x - sinx = sin 2x
2 cos 2x sinx = sin 2x
cos 2x = cos x
\(\displaystyle{ cos ^{2} x}\) - cos x - 1 = 0

cos x = 1 lub cos x = \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)

Btw, szukać, szukać błędów, bo ja te przykłady trzaskam w ramach przygotowania do jutrzejszej klasówki więc mogę się gdzieś pomylić

[Wasilewski]

Znów zapomniałeś o przypadku:
\(\displaystyle{ sinx = 0}\)

[NagashTheBlack]

Ano znów Dobrze, że pilnujesz

Ad 5

\(\displaystyle{ sin ^{2} 2x}\) = sin 3x + sin x
\(\displaystyle{ sin ^{2} 2x}\) = 2 sin 2x cos x
sin 2x = 2 cos x
sin x = 1

I tutaj też trzeba rozważyć, jak dobrze rozumiem, kiedy sin 2x = 0 i kiedy cos x = 0.

[Wasilewski]

Tak, ale wszystkie rozwiązania równania cosx= 0 zawierają sie w rozwiązaniach sin2x = 0, więc wystarczy ten drugi przypadek rozpatrzyć.

[setch]

1.
\(\displaystyle{ \sin ^2 x +2\sin x \cos x +\cos ^2x=\cos 2x\\
\sin 2x +1=\cos 2x\\

\begin{cases} \sin 2x +1=\cos 2x \\ \sin ^2 2x+\cos ^2 2x=1 \end{cases}}\)

Z układu wyznaczysz \(\displaystyle{ \sin 2x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 2x}\) i wtedy pójdzie już z górki.