Równania z wartością bezwzględną

[MakCis]

Jak rozwiązać poniższa równość:

\(\displaystyle{ | x^{2} - 2x - 3| = -4x}\)

Ja robiłem to w taki sposób:

Najpierw przerzuciłem -4x na lewą stronę, więc mam że:

\(\displaystyle{ | x^{2} - 2x - 3| -4x = 0}\)

Czy teraz wystarczy znaleźć pierwiastki tego wielomianu?

[soku11]

Jak dla mnie to moze byc, tylko jestem ciekawy jak znajdziesz te pierwiastki Wedlug mnie najlepiej sie rozwiazuje rozpisujac modul:
\(\displaystyle{ |(x+1)(x-3)|=-4x\
xin(-infty;-1)cup[3;+infty)\
x^2-2x-3+4x=0\
x^2+2x-3=0\
x=-3 mathbb{D} x=1 mathbb{D}\
\
xin[-1;3)\
-x^2+2x+3+4x=0\
x^2-6x-3=0\
Delta=36+12=48=(4sqrt{3})^2\
x=frac{6pm 4sqrt{3}}{2}=3pm 2sqrt{3}\
x=3-2sqrt{3}\
\
xin{3-2sqrt{3}, 1}}\)

POZDRO

[MakCis]

Kurcze...średnio to rozumiem. Byłbyś tak dobry i przy każdym ruchu wytłumaczył mi co robisz i dlaczego to robisz? Nabrawdę bardzo proszę...

[soku11]

Przeciez to polega poprostu na rozpisaniu modulu i rozwiazaniu rownania kwadratowego...
Chociaz teraz znalazlem blad to napisze jeszcze raz.

Najpier ustalmy dziedzine. Modul jest zawsze wiekszy badz rowny zero, tak wiec i prawa strona musi byc wieksza rowna 0:
\(\displaystyle{ -4x\geqslant 0\\
x\leqslant 0\\
x\in(-\infty;0]}\)

Teraz sprawdzamy gdzie funkcja w module zmienia znak:
\(\displaystyle{ |(x+1)(x-3)|}\)

Mamy funkcje kwadratowa okreslona na przedziale z dziedziny \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}_{-}\cup\{0\}}\). Teraz rozpisujemy zgodnie z definicja modulu:
\(\displaystyle{ |x|=\begin{cases} x\ \mbox{dla } x\geqslant 0\\-x\ \mbox{dla }xqslant 0\
-x^2+2x+3 mbox{dla }(x^2-2x-3)\mathbb{D}\ \ x_2=1\ \ \mathbb{D}}\)

Czyli z tego przedzialu mamy jedno rozwiazanie: \(\displaystyle{ x=-3}\).

Drugi przedzial (ze zmiana znaku w module):
\(\displaystyle{ x\in(-1;0]:\\
-x^2+2x+3=-4x\\
x^2-6x-3=0\\
x_1=3-2\sqrt{3}\ \ \mathbb{D}\ \ x_2=3+2\sqrt{3}\ \ \mathbb{D}}\)

Czyli z tego mamy tez jeden pierwiastek: \(\displaystyle{ x=3-2\sqrt{3}}\).

Suma rozwiazan:
\(\displaystyle{ x\in \{ -3,\ 3-2\sqrt{3}\}}\)

Teraz juz jest ok Leiej nie umiem wytlumaczyc. POZDRO

[MakCis]

A skąd wziął się ten moduł:

\(\displaystyle{ |(x+1)(x-3)|}\)

I dziedzina?

[soku11]

Dziedzina to juz pisalem. Modul jest zawsze >=0. A skoro lewa strona jest >=0 to i prawa musi taka byc. Bo nie ma sensu rozwiazywac rownania typu 2=-3... A modul to poprostu postac iloczynowa funkcji kwadratowej. POZDRO