Zadanie dla bardzo ambitnych
-
Templaris
Zadanie dla bardzo ambitnych
Wiadomo że \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha+sin\beta}{cos\alpha+cos\beta}=sin\gamma}\) Wykaż że jest to trójkąt prostokątny. Z góry dziękuję za pomoc!!
Zadanie dla bardzo ambitnych
Witam. Oto rozwiązanie:
Fakty: \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma\in(0;\pi)}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\pi}\)
Korzystam z wzorów na sumę funkcji trygonometrycznych:
1.) \(\displaystyle{ \sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}\)
2.) \(\displaystyle{ \cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}\)
Po zastosowaniu tych wzorów do naszego równania i uproszczeniu lewej strony, przyjmie ono postać:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}=\tan \frac{\alpha+\beta}{2}=\sin \gamma}\)
Kozystam z wzoru na tangens polowy kata:
\(\displaystyle{ \tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}}\)
Rownanie przyjmuje postac:
\(\displaystyle{ \frac{\1-\cos (\alpha+\beta)}{\sin (\alpha+\beta)}=\sin \gamma}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha+\beta=\pi-\gamma}\) oraz mająac na uwadze wzory redukcyjne:
1.) \(\displaystyle{ \sin (\pi-x)=\sin x}\)
2.) \(\displaystyle{ \cos (\pi-x)=-\cos x}\)
to:
\(\displaystyle{ \frac{\1-\cos (\pi-\gamma)}{\sin (\pi-\gamma)}=\sin \gamma}\)
dalej:
\(\displaystyle{ 1-\cos (\pi-\gamma)=\sin \gamma \sin (\pi-\gamma)}\)
\(\displaystyle{ 1+\cos \gamma=\sin^2 \gamma}\)
\(\displaystyle{ 1-\sin^2 \gamma+\cos \gamma=0}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 \gamma+\cos \gamma=0}\)
\(\displaystyle{ \cos \gamma(1+\cos \gamma)=0 \ \longleftrightarrow \ \cos \gamma=0 \ \ \cos \gamma=-1 \\ \longleftrightarrow \ \gamma=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \gamma=\pi+2k\pi \ \ k\in C}\)
Uwzględniając warunek \(\displaystyle{ \gamma (0;\pi)}\) pozostaje jedno rozwiazanie, a mianowicie \(\displaystyle{ \Large \gamma=\frac{\pi}{2}}\), co konczy dowod.
Pozdrawiam.
Fakty: \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma\in(0;\pi)}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\pi}\)
Korzystam z wzorów na sumę funkcji trygonometrycznych:
1.) \(\displaystyle{ \sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}\)
2.) \(\displaystyle{ \cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}\)
Po zastosowaniu tych wzorów do naszego równania i uproszczeniu lewej strony, przyjmie ono postać:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}=\tan \frac{\alpha+\beta}{2}=\sin \gamma}\)
Kozystam z wzoru na tangens polowy kata:
\(\displaystyle{ \tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}}\)
Rownanie przyjmuje postac:
\(\displaystyle{ \frac{\1-\cos (\alpha+\beta)}{\sin (\alpha+\beta)}=\sin \gamma}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha+\beta=\pi-\gamma}\) oraz mająac na uwadze wzory redukcyjne:
1.) \(\displaystyle{ \sin (\pi-x)=\sin x}\)
2.) \(\displaystyle{ \cos (\pi-x)=-\cos x}\)
to:
\(\displaystyle{ \frac{\1-\cos (\pi-\gamma)}{\sin (\pi-\gamma)}=\sin \gamma}\)
dalej:
\(\displaystyle{ 1-\cos (\pi-\gamma)=\sin \gamma \sin (\pi-\gamma)}\)
\(\displaystyle{ 1+\cos \gamma=\sin^2 \gamma}\)
\(\displaystyle{ 1-\sin^2 \gamma+\cos \gamma=0}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 \gamma+\cos \gamma=0}\)
\(\displaystyle{ \cos \gamma(1+\cos \gamma)=0 \ \longleftrightarrow \ \cos \gamma=0 \ \ \cos \gamma=-1 \\ \longleftrightarrow \ \gamma=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \gamma=\pi+2k\pi \ \ k\in C}\)
Uwzględniając warunek \(\displaystyle{ \gamma (0;\pi)}\) pozostaje jedno rozwiazanie, a mianowicie \(\displaystyle{ \Large \gamma=\frac{\pi}{2}}\), co konczy dowod.
Pozdrawiam.