dany jest trójkąt o bokach a, b, c i kątach A, B, C. Udowodnij, że
a + b + c = 8R*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2), R - promień okręgu opisanego na trójkącie.
pomóżcie, please!
Udowodnij własność dla trójkątów
Udowodnij własność dla trójkątów
O ile pamiętam na forum był już wątek z dowodem:
\(\displaystyle{ sin(\alpha)+sin(\beta)+sin(\gamma)=4cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\gamma}{2})}\)
Można z niego skorzystać, a potem z tego, że:
\(\displaystyle{ a=2Rsin(\alpha)}\) i.t.d.
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ sin(\alpha)+sin(\beta)+sin(\gamma)=4cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\gamma}{2})}\)
Można z niego skorzystać, a potem z tego, że:
\(\displaystyle{ a=2Rsin(\alpha)}\) i.t.d.
Pozdrawiam
-
misial
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 24 wrz 2004, o 14:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 3 razy
Udowodnij własność dla trójkątów
\(\displaystyle{ L=sin\alpha+sin\beta+sin\gamma=sin\alpha+sin\beta+sin(\pi-(\alpha+\beta))=sin\alpha+sin\beta+sin(\alpha+\beta)=2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})=}\)
\(\displaystyle{ 2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})(cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+cos(\frac{\alpha+\beta}{2}))=2sin(\frac{\pi-\gamma}{2})(2cos(\frac{2\alpha}{4})cos(\frac{-2\beta}{4}))=4cos(\frac{\gamma}{2})cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})}\)
\(\displaystyle{ 2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})(cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+cos(\frac{\alpha+\beta}{2}))=2sin(\frac{\pi-\gamma}{2})(2cos(\frac{2\alpha}{4})cos(\frac{-2\beta}{4}))=4cos(\frac{\gamma}{2})cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})}\)