[2] równanie i nierówność trygonometryczna.

[Bewotyk]

1.\(\displaystyle{ 3\cdot 9^{\sin{x}} +5 \cdot 3^{\sin{x}}-2>0}\)

2.\(\displaystyle{ \frac{4\sin{x}+3}{\cos{x}-1}=4(\cos{x}+1)}\)

[Zlodiej]

1. Niech \(\displaystyle{ t=3^{\sin{x}}}\). Dalej to już nierówność kwadratowa.

\(\displaystyle{ 3t^2+5t-2>0}\)

2. Mnożysz przez mianownik i masz:

Założenia: \(\displaystyle{ \cos{x}\neq 1}\)

\(\displaystyle{ 4\sin{x}+3=4(\cos^2{x}-1)}\)

Z jedynki trygonometrycznej masz:

\(\displaystyle{ 4\sin{x}+3+4\sin^2{x}=0}\)

Niech \(\displaystyle{ t=\sin{x}}\)

Dalej to znowu równanie kwadratowe do rozwiązania.


[Dodał:] DEXiu, będzie jeszcze szansa ... Zresztą ty to bardziej rozwinąłeś.

[DEXiu]

1) Zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ t=3^{sinx}}\). Otrzymujemy nierówność postaci \(\displaystyle{ 3t^{2}+5t-2>0}\), po rozwiązaniu wychodzi \(\displaystyle{ t\frac{1}{3}}\) z czego \(\displaystyle{ t\frac{1}{3}\,\Leftrightarrow\,3^{sinx}>3^{-1}}\) Dostajemy do rozwiązania nierówność wykładniczą o podstawie większej niż 1, zatem \(\displaystyle{ sinx>-1}\) czyli rozwiązaniem naszej nierówności jest \(\displaystyle{ R-\{x R:\,x=2k \pi -\frac{\pi}{2}\,\wedge\,k C\}}\)

2) Kurcze Złodiej mnie wyprzedził Zresztą tak jak mówi - znowu podstawienie, ale tym razem będzie mniej liczenia - równanie kwadratowe, które wyjdzie, nie ma rozwiązania w R