Oblicz miary katow ostrych

[truskawka89]

Oblicz miary katow ostrych \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) wiedzac ze \(\displaystyle{ sin( - \beta) = \frac{1}{2} i cos( + \beta)= \frac{1}{2}}\)

[lukasz1804]

Ze wzorów na sinus różnicy kątów i kosinus sumy kątów mamy

\(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}}\).

Odejmując drugie równanie od pierwszego dostajemy

\(\displaystyle{ 0=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\sin\alpha(\sin\beta+\cos\beta)-\cos\alpha(\sin\beta+\cos\beta)=(\sin\beta+\cos\beta)(\sin\alpha-\cos\alpha)}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem ostrym, to \(\displaystyle{ \sin\beta>0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\beta>0}\), czyli \(\displaystyle{ \sin\beta+\cos\beta>0}\). Dzieląc stronami w otrzymanej równości przez \(\displaystyle{ \sin\beta+\cos\beta}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \sin\alpha-\cos\alpha=0}\).

Stąd i z uwagi, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest również kątem ostrym mamy w szczególności \(\displaystyle{ \cos\alpha\neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ 0=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1=0}\). Zatem \(\displaystyle{ tg\alpha=1}\) i \(\displaystyle{ \alpha=45^{o}}\).
Wstawiając otrzymaną wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) do pierwszego równania otrzymujemy

\(\displaystyle{ \sin 45^{o}\cos\beta-\cos 45^{o}\sin\beta=\frac{1}{2}}\),

czyli

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta=\frac{1}{2}}\).

To daje, że

\(\displaystyle{ \cos\beta-\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Ze wzoru redukcyjnego mamy \(\displaystyle{ \sin\beta=\cos(90^{o}-\beta)}\). Stąd i z powyższej równości dostajemy

\(\displaystyle{ \cos\beta-\cos(90^{o}-\beta)=\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Ze wzoru na różnicę wartości funkcji kosinus mamy teraz

\(\displaystyle{ -2\sin 45^{o}\sin(\beta-45^{o})=\frac{\sqrt{2}}{2}}\),

czyli \(\displaystyle{ \sin(\beta-45^{o})=-\frac{1}{2}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem ostrym, to \(\displaystyle{ \beta-45^{o}\in(-45^{o},45^{o})}\). Zatem z ostatniej równości mamy \(\displaystyle{ \beta-45^{o}=-30^{o}}\). To daje, że \(\displaystyle{ \beta=45^{o}-30^{o}=15^{o}}\).

[palunia3]

i po co sie męczyć?
kiedy można to zrobić dużo prosciej,a mianowicie...
skoro:
\(\displaystyle{ \sin(\alpha-\beta)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos(\alpha+\beta)= \frac{1}{2}}\)
to:
\(\displaystyle{ \sin30=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos60=\frac{1}{2}}\)
układamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\beta=30 \\ +\beta=60 \end{cases}}\)
sumujemy stronami:
\(\displaystyle{ 2\alpha=90}\)
\(\displaystyle{ \alpha=45}\)
więc \(\displaystyle{ \beta=15}\)