1. Rozwiaż nierównośc : \(\displaystyle{ |sin x| q |cos x|}\)
2. Wykaż że dla każdej pary liczb dodatnich rzeczywistych a,b równanie \(\displaystyle{ a sin^2 x = b cos x}\) ma dokładnie jeden pierwiastek należący do przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{\pi}{2})}\)
3. Rozwiąż równanie : \(\displaystyle{ tg 3 x = ctg 2 x}\)
równania i nierówności trygonometryczne
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
równania i nierówności trygonometryczne
1. Podnieś stronami do kwadratu, jako, że mamy liczby dodatnie. Otrzymasz:
\(\displaystyle{ \cos^2{x}-\sin^2{x}\geq 0\: \Longleftrightarrow\: \cos{2x}\geq 0}\)
3. Zamień wszystko na sinusy i cosinusy oraz pomnóż przez mianowniki. Orzymasz:
\(\displaystyle{ \cos{3}\cos{2x}=\sin{3x}\sin{2x}}\)
Przenosisz wszystko na jedną stronę i zauważ, że jest to cosinus sumy kątów.
\(\displaystyle{ \cos{3}\cos{2x}-\sin{3x}\sin{2x}=0\: \Longleftrightarrow\: \cos{5x}=0}\)
\(\displaystyle{ \cos^2{x}-\sin^2{x}\geq 0\: \Longleftrightarrow\: \cos{2x}\geq 0}\)
3. Zamień wszystko na sinusy i cosinusy oraz pomnóż przez mianowniki. Orzymasz:
\(\displaystyle{ \cos{3}\cos{2x}=\sin{3x}\sin{2x}}\)
Przenosisz wszystko na jedną stronę i zauważ, że jest to cosinus sumy kątów.
\(\displaystyle{ \cos{3}\cos{2x}-\sin{3x}\sin{2x}=0\: \Longleftrightarrow\: \cos{5x}=0}\)
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
równania i nierówności trygonometryczne
Niech \(\displaystyle{ f(x)=a\sin^2x-b\cos x}\).
Mamy wtedy: \(\displaystyle{ f(x)=a-a\cos^2x-b\cos x=-a\cos^2x-b\cos x+a}\)
\(\displaystyle{ f(0)=a-a-b=-b}\)
\(\displaystyle{ f(\frac{\pi}{2})=a}\)
Wiemy, że a,b>0, więc liczby -b oraz a mają przeciwne znaki. Z własności Darboux wynika istnienie pierwiastka w tym przedziale.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Mamy wtedy: \(\displaystyle{ f(x)=a-a\cos^2x-b\cos x=-a\cos^2x-b\cos x+a}\)
\(\displaystyle{ f(0)=a-a-b=-b}\)
\(\displaystyle{ f(\frac{\pi}{2})=a}\)
Wiemy, że a,b>0, więc liczby -b oraz a mają przeciwne znaki. Z własności Darboux wynika istnienie pierwiastka w tym przedziale.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
-
liu
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
równania i nierówności trygonometryczne
Szkic dowodu do drugiego:
Skoro \(\displaystyle{ a\sin^2x=b\cos x}\), to \(\displaystyle{ tg x \cdot \sin x = b/a}\).
Teraz wystarczy wykazac, ze \(\displaystyle{ f(x) = tg x \cdot \sin x}\) jest roznowartosciowa na przedziale \(\displaystyle{ [0, pi/2)}\) oraz skorzystac z lematu:
LEMAT: Jezeli \(\displaystyle{ f(0) = 0}\), oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to a-} f(x) = \infty}\), oraz f(x) ciągła na \(\displaystyle{ (0,a)}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ \xi \in \mathbb{R}_+}\) istnieje \(\displaystyle{ \lambda \in (0,a)}\) takie, ze \(\displaystyle{ f(\lambda)=\xi}\).
Dowod: Z definicji granicy lewostronnej niewlasciwej funkcji mamy, ze dla dowolnego \(\displaystyle{ M>0}\) istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) takie, ze \(\displaystyle{ f(x)>M}\) o ile \(\displaystyle{ |x-a|}\)
Skoro \(\displaystyle{ a\sin^2x=b\cos x}\), to \(\displaystyle{ tg x \cdot \sin x = b/a}\).
Teraz wystarczy wykazac, ze \(\displaystyle{ f(x) = tg x \cdot \sin x}\) jest roznowartosciowa na przedziale \(\displaystyle{ [0, pi/2)}\) oraz skorzystac z lematu:
LEMAT: Jezeli \(\displaystyle{ f(0) = 0}\), oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to a-} f(x) = \infty}\), oraz f(x) ciągła na \(\displaystyle{ (0,a)}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ \xi \in \mathbb{R}_+}\) istnieje \(\displaystyle{ \lambda \in (0,a)}\) takie, ze \(\displaystyle{ f(\lambda)=\xi}\).
Dowod: Z definicji granicy lewostronnej niewlasciwej funkcji mamy, ze dla dowolnego \(\displaystyle{ M>0}\) istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) takie, ze \(\displaystyle{ f(x)>M}\) o ile \(\displaystyle{ |x-a|}\)
równania i nierówności trygonometryczne
Mam male pytanie dotyczace pierwszego i jego rozwiazanie. Jesli narysujemy sobie oba wykresy funkcji w wartości bezwzględnej, to wychodzą nam inne przedziały niż z wykresu cos2x. Czy można to zrobić w ten sposób, ze narysuje wykresy obu i wezme tylko |sinx|
