trygonometria + f. kwadratowa

[Gezzz]

Rozwiaz rownanie:
\(\displaystyle{ cos (x-1)=x^2-2x+2}\)

[Wasilewski]

Funkcję po prawej stronie przekształcamy do postaci kanonicznej: \(\displaystyle{ x^2 - 2x +2 = (x-1)^2 + 1}\)
Mamy z tego: \(\displaystyle{ (x^2 - 2x + 2) qslant 1}\)
A cosinus: \(\displaystyle{ -1 qslant cosx qslant 1}\)
Sprawdzamy więc dla jedynego przypadku:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 + 1 = 1 x = 1 \\
cos(x-1) = 1 x-1 = 0 x = 1}\)
Czyli się zgadza.

[Szemek]

\(\displaystyle{ x^2-2x+2=(x-1)^2-1+2=(x-1)^2+1}\)
funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=(x-1)^2+1}\) najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku \(\displaystyle{ W(1,1)}\)

Tylko w tym punkcie funkcja cosinus może mieć punkt wspólny, ponieważ jest zbiór wartości jest ograniczony \(\displaystyle{ -1 q \cos x q 1}\)

dla \(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ \cos (1-1) = \cos 0 = 1}\)
Punkt \(\displaystyle{ W(1,1)}\) należy do wykresów obu funkcji.
Zatem rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ x=1}\)

Zadanie można rozwiązać też graficznie

[Gezzz]

wszystko jasne, dziekowa