wyznacz naiwiększą i najmniejszą wartość funkcji

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

wyznacz naiwiększą i najmniejszą wartość funkcji

Post autor: sea_of_tears »

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ y=sinx+cos(2x)}\)
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

wyznacz naiwiększą i najmniejszą wartość funkcji

Post autor: lukasz1804 »

Ze wzoru na kosinus podwojonego kąta mamy
\(\displaystyle{ y=f(x)=\sin x+\cos^2x-\sin^2x=\sin x+1-2\sin^2x=1+\sin x-2\sin^2x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(x)=g(\sin x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ g:[-1,1]\to\mathbb{R}}\) jest funkcją określoną wzorem
\(\displaystyle{ g(t)=1+t-2t^2}\) dla \(\displaystyle{ t\in[-1,1]}\).
Wystarczy teraz znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\). Wykres funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest łukiem paraboli o wierzchołku \(\displaystyle{ (\frac{1}{4},\frac{9}{8})}\). Ponadto mamy \(\displaystyle{ g(-1)=-2,\ g(1)=0}\). Stąd otrzymujemy
\(\displaystyle{ \min_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\min_{t\in[-1,1]}g(t)=\min\{\frac{9}{8},-2,0\}=-2}\),
\(\displaystyle{ \max_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\max_{t\in[-1,1]}g(t)=\max\{\frac{9}{8},-2,0\}=\frac{9}{8}}\).
Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ