Kilka równań i nierównośćiq

[waski]

\(\displaystyle{ cos^{2}x-3sinxcosx+1=0}\)
\(\displaystyle{ 4sin(\pi x)=4x^{2} - 4x+ 5}\)
\(\displaystyle{ |tg(\pi x)|\geq 1}\)

[Tomasz Rużycki]

1)

\(\displaystyle{ \cos^2x-3\sin x\cos x+1=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x(\cos x-\sin x)+\sin^2x-\sin x\cos x+cos^2x-\sin x\cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x(\cos x-\sin x)-\sin x(\cos x-\sin x)+\cos x(\cos x-\sin x)=0}\)
\(\displaystyle{ (\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x+\cos x)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x=cos x\vee \sin x=2\cos x}\)

Dalej sobie poradzisz.

2) Wydziel stronami przez 4, oblicz wartość w wierzchołku - coś zauważysz

3) Narysuj wykres |tanalpha|, zastanów się, kiedy przyjmuje wartości niemniejsze niż 1, zapisz odpowiednią nierówność, wróć do |tanpix|, wydziel przez pi

[Wyderka]

ad. 1

\(\displaystyle{ cos^{2}x-3sinxcosx+1=0}\)
z jedynki trygonometrycznej mamy:
\(\displaystyle{ cos^{2}x-3sinxcosx+sin^{2}x+cos^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ 2cos^{2}x-3sinxcosx+sin^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ 2cos^{2}x-2sinxcosx-sinxcosx+sin^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ 2cosx(cox-sinx)-sinx(cosx-sinx)=0}\)
\(\displaystyle{ (2cosx-sinx)(cosx-sinx)=0}\)
\(\displaystyle{ (2cosx-sinx)=0 (cosx-sinx)=0}\)
\(\displaystyle{ 2cosx=sinx cosx=sinx}\)
\(\displaystyle{ 2=tgx 1=tgx}\)
\(\displaystyle{ x=arctg2 x=arctg1=\frac{\pi}{4}+k{\pi}}\)