przedstaw podane wyrażenie w postaci iloczynu

[matek]

wiemy że \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\pi}\)
należy sprowadzić do postaci iloczynowej \(\displaystyle{ sin(\alpha)+sin(\beta)+sin(\gamma)}\) z góry dzięki za pomoc

[Zlodiej]

Skorzystaj ze wzoru na sumę sinusów dla kątów \(\displaystyle{ \alpha\: i \: \beta}\), natomiast sinus \(\displaystyle{ \gamma}\) zapisz jako: \(\displaystyle{ 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}}\), bo \(\displaystyle{ \sin{\gamma}=\sin{(180^o-(\alpha+\beta))}=\sin{(\alpha+\beta)}}\). Będziesz mógł coś wyciagnąc przed nawias, a potem już powinno jakoś pójść...

[matek]

Dlaczego \(\displaystyle{ sin(\gamma)=2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})}\)? Jeśli \(\displaystyle{ sin(\gamma)=sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)}\)? Wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ sin(\alpha)+sin(\beta)+sin(\gamma)=2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})+sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)}\)
I co dalej??? Acha i problem w tym, że w wyniku jest \(\displaystyle{ \gamma}\)...
Powinno wyjść \(\displaystyle{ 4cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\gamma}{2})}\)

[Zlodiej]

Bo masz wzór: \(\displaystyle{ \sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}}\)

[matek]

Dzięki juz mi wyszło

[Daumier]

\(\displaystyle{ sin(\alpha)+sin(\beta)+sin(\gamma)=2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)}\)

Proszę o wytłumaczenie, co należy zrobić dalej ?

[borysfan]

Czy ktoś mogłby umieścić wytłumaczenie do powyższego zadania?

[Rafix_]

\(\displaystyle{ sin + sin \beta + sin \gamma =zal=sin + sin \beta + sin (180-(\alpha+ \beta)) =sin + sin \beta +sin (\alpha+ \beta)=sin + sin \beta +sin cos \beta+ cos sin \beta=sin (1+cos \beta) + sin \beta(1+cos )
=sin (2cos^{2}\frac{\beta}{2})+sin \beta(2cos^{2}\frac{\alpha}{2})=
2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}(2cos^{2}\frac{\beta}{2})+
2sin\frac{\beta}{2}cos\frac{\beta}{2}(2cos^{2}\frac{\alpha}{2})=
4cos\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}(cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}+
cos\frac{\beta}{2}cos\frac{\alpha}{2})=
4cos\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}sin\frac{(\alpha+\beta)}{2}
=4cos\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}sin(\frac{180-\gamma}{2})=
4cos\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}cos\frac{\gamma}{2}}\)


pozdrawiam Rafal