oblicz wyrazenie wiedzac, ze...

[Kordi_17]

Mam problem z takim o to zadankiem:
Oblicz: \(\displaystyle{ sin\alpha - cos\alpha}\) wiedząc, że: \(\displaystyle{ sin\alpha + cos\alpha = \frac{2}{3}}\). Jak to rozwiązać?

[Marco Reven]

Coś chyba za prosto


\(\displaystyle{ sin+cos=\frac{2}{3}\Rightarrow sin=\frac{1}{3} \ cos=\frac{1}{3} \\ sin-cos=0}\)

[Sylwek]

O kurcze, nową matematykę wprowadzasz xD . Może zaprezentuję swoje rozwiązanie. Najpierw podnosimy założenie do kwadratu i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + cos^2 x = \frac{4}{9} \\ 2 \sin x \cos x + 1 = \frac{4}{9} \\ \sin x \cos x = -\frac{5}{18}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ |\sin x - \cos x|=\sqrt{(\sin x - \cos x)^2}=\sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}= \\ =\sqrt{1-2 (-\frac{5}{18})}=\sqrt{1+\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{14}}{3}}\)


Zatem:
\(\displaystyle{ (\sin x - \cos x=\frac{\sqrt{14}}{3}) (\sin x - \cos x=-\frac{\sqrt{14}}{3})}\)