Witam,
Mam następujące zadanie:
W trójkącie ABC w którym kąt CAB = α, poprowadzono dwusieczną CD kąta wewnętrznego ACB, przy czym kąt CDA = β . Oblicz \(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|DB|}}\). Więc ja na początku podzieliłem to na dwa trójkąty:
ADC i DBC.
I w trójkącie ADC mam kąty:
α , β , 180 ° - ( α + β ).
W drugim trójkącie DBC mam kąty:
180 ° - ( α + β ), 180 ° - β , x.
Z tw. sinusów można w trójkącie ADC wyznaczyć |AD| następująco:
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{sin(\alpha+\beta)}=2R}\)
Analogicznie możnaby wyznaczyć w trójkącie DBC |DB| ale to jest inny trójkąt więc te R są różne...
Co dalej z tym można zrobić?
tw sin/cos zadanie, stosunek długości odcinków
tw sin/cos zadanie, stosunek długości odcinków
Skorzystaj z tw. sinusów, ale w takiej formie: \(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\cdots}\) dla trójkątów ADC i DBC, a na pewno wyjdzie..
Pozdrawiam
Pozdrawiam
tw sin/cos zadanie, stosunek długości odcinków
Tak próbowałem robić tzn myślałem w ten sposób:
Mam dwa trójkąty, boki które mnie interesują to |AD| w jednym trójkącie i |DB| w drugim trójkącie. Oznaczam je odpowiednio a i b. Oba boki znajdują się na przeciwko tych samych kątów. Więc wychodzi, że stosunek wynosiłby 1.
A w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ -\frac{sin(\alpha+2\beta)}{sin }}\)
Mam dwa trójkąty, boki które mnie interesują to |AD| w jednym trójkącie i |DB| w drugim trójkącie. Oznaczam je odpowiednio a i b. Oba boki znajdują się na przeciwko tych samych kątów. Więc wychodzi, że stosunek wynosiłby 1.
A w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ -\frac{sin(\alpha+2\beta)}{sin }}\)
tw sin/cos zadanie, stosunek długości odcinków
CHcesz rozwiązanie, czy wskazówke?
Bo wskazówke już napisałem...
Po prostu masz wszystki kąty dane a żaden z boków nie, więc musisz wyrazić każdy z odcinków AD i DB jako funkcja jednego i tego samego pewnego odcinka...
Pomyśl...
Bo wskazówke już napisałem...
Po prostu masz wszystki kąty dane a żaden z boków nie, więc musisz wyrazić każdy z odcinków AD i DB jako funkcja jednego i tego samego pewnego odcinka...
Pomyśl...
tw sin/cos zadanie, stosunek długości odcinków
Dzięki. Obliczyłem to z takich dwóch równań:
\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{sin(\alpha+\beta)}=\frac{d}{sin }}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{b}{sin(\alpha+\beta)}=\frac{d}{sin(-180+\alpha+\beta)}}\)
Z pierwszego wyliczyłem d, podstawiłem do drugiego itd.
Ale mam pytanie dotyczące \(\displaystyle{ sin(-180+\alpha+\beta)}\).
Ze wzorów redukcyjnych mam:
\(\displaystyle{ sin(-180+\alpha+\beta)=-sin(180+\alpha+\beta)=-sin(\alpha+\beta)}\)
Tylko, skąd mam wiedzieć, w której ćwiartce się to znajduje i czy czasem wynikiem końcowym nie będzie \(\displaystyle{ +sin(\alpha+\beta)}\) ?
\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{sin(\alpha+\beta)}=\frac{d}{sin }}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{b}{sin(\alpha+\beta)}=\frac{d}{sin(-180+\alpha+\beta)}}\)
Z pierwszego wyliczyłem d, podstawiłem do drugiego itd.
Ale mam pytanie dotyczące \(\displaystyle{ sin(-180+\alpha+\beta)}\).
Ze wzorów redukcyjnych mam:
\(\displaystyle{ sin(-180+\alpha+\beta)=-sin(180+\alpha+\beta)=-sin(\alpha+\beta)}\)
Tylko, skąd mam wiedzieć, w której ćwiartce się to znajduje i czy czasem wynikiem końcowym nie będzie \(\displaystyle{ +sin(\alpha+\beta)}\) ?
tw sin/cos zadanie, stosunek długości odcinków
Eh, tam błąd w tym drugim równaniu, miało być sin(-180° + α + 2 β ), czyli -sin(180° + α + 2 β ), więc, żeby wynik wynosił -sin(α + 2 β ) to, musi być to w ćwiartce gdzie sin jest dodatni? (bo gdyby był ujemny to byłoby wtedy już +sin(α + 2 β ) ) dobrze myślę ?