Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) rozwiazaniem ukladu rownan \(\displaystyle{ \begin{cases} (cos\alpha - 1)x + y = 1 \\ (-2cos\alpha)x + (2cos\alpha + 1) = cos\alpha \end{cases}}\) jest dokladnie jedna para liczb nieujemnych?
Zastanawiam się czy tam w drugim równaniu nie brakuje y (po drugim nawiasie).. No ale przepisałam tak jak było.. Być może to bląd w druku..
zadanie z parametrem
-
gajatko
- Użytkownik
- Posty: 135
- Rejestracja: 16 sty 2008, o 20:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 36 razy
zadanie z parametrem
Najlepiej rozwiąż to wyznacznikowo. Rozsądnie będzie zmienić \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) na jakiś łatwiejszy parametr.
Niech \(\displaystyle{ t=\cos\alpha,\ t\in[-1,1]}\)
Wtedy mamy układ (zakładam że przy \(\displaystyle{ 2t+1}\) jest \(\displaystyle{ y}\), bo na to by wskazywała logika układu (gdyby tak nie było, to by się parametry skróciły)):
\(\displaystyle{ \begin{cases} (t - 1)x + y = 1 \\
(-2t)x + (2t + 1)y = t \end{cases}}\)
Teraz liczymy wyznacznik główny:
\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array} {cc}
t-1&1\\
-2t&2t+1
\end {array}\right|
=2t^2+t-2t-1+2t=2t^2+t-2=2(t+1)(t-\frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ W=0}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left\{-1,\frac{1}{2}\right\}}\), więc odrzucamy te przypadki, potem badamy znaki rozwiązań. Znajdziemy w ten sposób przedział, w jakim ma się znajdować \(\displaystyle{ t}\), potem zostanie proste równanie trygonometryczne.
[ Dodano: 30 Stycznia 2008, 09:19 ]
Ostatecznie dostajemy wynik:
\(\displaystyle{ t\in\left(\left[-1,\frac{1-\sqrt 3}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},1\right]\right)\cap ft(\left[\frac{1}{2},1\right]\cup\{0,-1\}\right)\\
t\in\left[\frac{1}{2},1\right]\cup\{-1\}}\)
Niech \(\displaystyle{ t=\cos\alpha,\ t\in[-1,1]}\)
Wtedy mamy układ (zakładam że przy \(\displaystyle{ 2t+1}\) jest \(\displaystyle{ y}\), bo na to by wskazywała logika układu (gdyby tak nie było, to by się parametry skróciły)):
\(\displaystyle{ \begin{cases} (t - 1)x + y = 1 \\
(-2t)x + (2t + 1)y = t \end{cases}}\)
Teraz liczymy wyznacznik główny:
\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array} {cc}
t-1&1\\
-2t&2t+1
\end {array}\right|
=2t^2+t-2t-1+2t=2t^2+t-2=2(t+1)(t-\frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ W=0}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left\{-1,\frac{1}{2}\right\}}\), więc odrzucamy te przypadki, potem badamy znaki rozwiązań. Znajdziemy w ten sposób przedział, w jakim ma się znajdować \(\displaystyle{ t}\), potem zostanie proste równanie trygonometryczne.
[ Dodano: 30 Stycznia 2008, 09:19 ]
Ostatecznie dostajemy wynik:
\(\displaystyle{ t\in\left(\left[-1,\frac{1-\sqrt 3}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},1\right]\right)\cap ft(\left[\frac{1}{2},1\right]\cup\{0,-1\}\right)\\
t\in\left[\frac{1}{2},1\right]\cup\{-1\}}\)