Równania trygonometryczne

[mumu126p]

ma kilka zadań z trygonometrii i nie bardzo wiem jak sie do nich zabrać (leże z tego )
1. \(\displaystyle{ sin3x+cos3x= \sqrt{2}}\)
2. \(\displaystyle{ 2cosx+3=4cos \frac{x}{2}}\)
3. \(\displaystyle{ cos ^{4}x-sin ^{4}x=sin4x}\)

Nie zapominaj o klamrach

Kod: Zaznacz cały

[tex]...[/tex]

,
Piotrek89[/color]

[Sylwek]

1)
\(\displaystyle{ \sin 3x + \cos 3x=\sin 3x + \sin (90^{o} - 3x) = \\ = 2 \sin \frac{3x+90^{o}-3x}{2} \cos \frac{3x-90^{o}+3x}{2}= \\ =2 \sin 45^{o} \cos (3x-45^{o})=\sqrt{2} \cos (3x-45^{o})}\)'

Zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cos (3x-45^{o})=\sqrt{2} \\ \cos (3x-45^{o})=1 \\ 3x-\frac{\pi}{4}=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \mbox{ (Z - calkowite)} \\ x=\pi(\frac{2k}{3}+\frac{1}{12})}\)

[Wasilewski]

3) Najpierw ze wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ (cos^{2}x + sin^{2}x)(cos^{2}x - sin^{2}x) = cos4x \\
cos2x = 2cos^{2}2x - 1 \\
cos2x = t \\
2t^2 - t - 1 = 0 \\
(2t+1)(t-1) = 0 \\
cos2x = 1 cos2x = -\frac{1}{2}}\)
Dalej sobie poradzisz.
2)
\(\displaystyle{ 2cosx + 3 = 4cos\frac{x}{2} \\
2cos^{2}\frac{x}{2} - 1 + 3 = 4cos\frac{x}{2} \\
cos^{2}\frac{x}{2} - 2cos\frac{x}{2} + 1 = 0 \\
(cos^{2}\frac{x}{2} - 1)^2 = 0 \\
cos^{2}\frac{x}{2} = 1 \\
cos\frac{x}{2} = 1 cos\frac{x}{2} = -1}\)

[arpa007]

\(\displaystyle{ 2cosx + 3 \\ 2cos^{2}\frac{x}{2} - 1 + 3}\) jak to zamieniles??

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ cosx = cos(2\cdot \frac{x}{2}) = 2cos^{2}\frac{x}{2} - 1}\)