wyznacz sumę tangensów

[piwne_oko]

Wyznacz sumę tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego, wiedząc że stosunek pola tego trójkąta do pola kwadratu, który jest bokiem przeciwprostokątnej trójkąta wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

[arpa007]

\(\displaystyle{ P_{troj}= \frac{1}{2}ab}\)
\(\displaystyle{ P_{kwad}=c^{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{kwad}=6 P_{troj}}\)
\(\displaystyle{ 6 \frac{1}{2} ab=c^{2}}\)
z tego wychodzi
\(\displaystyle{ a^{2}-9a^{2}b^{2}+b^{2}=0}\)
moze
\(\displaystyle{ (a-b)^{2}=ab(2-9ab)}\)
ale tego juz nie potrafie rozwiazac(chyba rownanie okregu z 2 rozwiazaniami), bo w szkole jeszcze nie mielismy:(

[piwne_oko]

też się zawiesiłam w tym momencie....

[Wasilewski]

Z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ 3ab = a^2 + b^2 \\
tg\alpha + tg\beta = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{3ab}{ab} = 3}\)

[arpa007]

skad wyszedl ci ten wynik,powiesz:D ??prosze(imy),

edit1: piwne oko, nie offtopOj:P

[piwne_oko]

właśnie...bo ja też nie czaje

[Wasilewski]

Zatem tak:
\(\displaystyle{ \frac{ab}{2} = \frac{c^2}{6} \\
Z \ Pitagorasa: \\
a^2 + b^2 = c^2 \\
\frac{ab}{2} = \frac{a^2 + b^2}{6} \ \ |\cdot 6 \\
3ab = a^2 + b^2 \\
tg\alpha = \frac{a}{b} \\
tg\beta = \frac{b}{a} \\
tg\alpha + tg\beta = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{3ab}{ab} = 3}\)

[Szemek]

\(\displaystyle{ \tan + \tan \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \cos \beta}}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90^\circ}\)
\(\displaystyle{ \cos = \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{a}{c}}\)
podstawiając
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{ab}{c^2}} = \frac{c^2}{ab}}\)
wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{ab}{2} = \frac{1}{6}c^2 \iff ab = \frac{1}{3}c^2}\)
podstawiając
\(\displaystyle{ \frac{c^2}{\frac{1}{3}c^2} = 3}\)
wynik: 3