wykaż, że trójkąt jest prostokątny

[askasid]

Mam takie zadanie które nie bardzo mi wychodzi:
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) są różnymi kątami trójkąta spełniającymi warunek
\(\displaystyle{ \sin (\alpha-\beta) = \sin ^{2} \alpha - \sin ^{2}\beta}\) , to ten trójkąt jest prostokątny.

[arpa007]

Trojkat prostokatny czyli katy: \(\displaystyle{ \alpha + \beta + 90^{o}=180}\)
\(\displaystyle{ \alpha=90^{o}- \beta}\)
\(\displaystyle{ \beta=90^{o}- }\)

\(\displaystyle{ \sin(\alpha- \beta)= \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta}\)
\(\displaystyle{ \cos\beta= \cos(90^{o}- )= \sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha= \cos(90^{o}- \beta)= \sin\beta}\)

\(\displaystyle{ \sin(\alpha- \beta)= \sin^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha}\)

[Qń]

Ale Ty udowodniłeś, że jeśli trójkąt jest prostokątny, to zachodzi podana zależność, a miałeś udowodnić, że jeśli zachodzi podana zależność, to trójkąt jest prostokątny.

Właściwa teza wynika z tożsamości:
\(\displaystyle{ \sin (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta ) = \sin^2 - \sin^2 \beta}\)
bo w połączeniu z daną zależnością dostajemy od razu, że \(\displaystyle{ \sin (\alpha + \beta ) = 1}\), czyli to o co chodziło.

Dowód tożsamości pozostawiam jako ćwiczenie, w razie kłopotów podpowiem.

Pozdrawiam.
Qń.