suma cosinusów

[kubapod]

Proszę o pomoc w doprowadzeniu do żądanej postaci
Potrzebne jest mi to do dowodu :

\(\displaystyle{ \frac{sin \frac{kx}{2}cos \frac{(k+1)x}{2} }{sin \frac{x}{2} }+cos(k+1)x}\)

trzeba to doprowadzić do postaci :

\(\displaystyle{ \frac{sin \frac{(k+1)x}{2}cos \frac{(k+2)x}{2} }{sin \frac{x}{2} }}\)

Z góry dziękuje za pomoc

[Baca48]

Dla ułatwienia weźmy:
\(\displaystyle{ \alpha= \frac{kx+x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \beta=\frac {x}{2}}\)

Wówczas pozostaje nam udowodnić równość:

\(\displaystyle{ \frac {sin(\alpha - \beta)cos\alpha}{sin \beta} + cos2\alpha = \frac {sin\apha cos(\alpha + \beta)}{sin\beta}}\)

\(\displaystyle{ L = \frac {sin(\alpha - \beta)cos\alpha}{sin \beta} + cos2\alpha = \frac {sin(\alpha - \beta)cos\alpha + cos2\alpha sin\beta}{sin \beta} = \frac {(sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta) cos\alpha + cos^{2} sin \beta - sin^{2} sin\beta}{sin \beta}= \frac {sin\alpha cos\beta cos\alpha - cos^{2} sin\beta + cos^{2} sin \beta - sin^{2} sin\beta}{sin \beta} = \frac {sin\alpha cos\beta cos\alpha - sin^{2} sin\beta}{sin \beta}= \frac {sin\alpha (cos\beta cos\alpha - sin sin\beta)}{sin \beta}= \frac {sin\alpha cos (\alpha + \beta)}{sin \beta}}\)

c.n.d.

[kubapod]

Dzięki. A ja się tyle męczyłem

[Baca48]

Cieszę się, że pomogłem Pozdrawiam

[kubapod]

\(\displaystyle{ \frac{sin(\alpha- \frac{x}{2})cos\alpha+cos2\alpha sin \frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}}} = \frac{sin\alpha cos( - \frac{x}{2}) }{sin \frac{x}{2} }}\)

po prawej stronie jest błąd ponieważ jest : \(\displaystyle{ cos( - \frac{x}{2})}\) , powinno byc \(\displaystyle{ cos( +\frac{x}{2})}\)