Zbiór A jest zbiorem rozwiazań równania cos3x=cosx

[tbarczyk]

Zbiór A jest zbiorem rozwiazań równania \(\displaystyle{ cos3x=cosx}\) w zbiorze liczb rzeczywistych,
zaś zbiór B zbiorem rozwiązań równania \(\displaystyle{ sin 4x=0}\) w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0;2 \pi \rangle}\).
Wyznacz iloczyn zbiorów A i B.

[gajatko]

Po pierwsze rozwiązujemy równania:
\(\displaystyle{ A)\ \cos 3x=\cos x\\
\cos 3x-\cos x=0}\)
Teraz korzystam ze wzoru na różnicę cosinusów:
\(\displaystyle{ -2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2}=0\\
\sin 2x\sin x=0\\
\sin 2x=0\quad\vee\quad\sin x=0\\
x=\frac{k\pi}{2}\quad\vee\quad x=k\pi\\
x=\frac{k\pi}{2}\quad;k\in C\\
B)\ \sin 4x=0;\quad x\in[0,2\pi]\\
4x=k\pi\\
x=\frac{k\pi}{4}\quad;k\in\{0,1,2,\cdots ,8\}}\)
Tutaj to można było "zauważyć", jednak analitycznie zbiór, do którego należy \(\displaystyle{ k}\) można wyznaczyć w następująco (oczywiście uwzględniając to, że \(\displaystyle{ k}\) ma być całkowite):
\(\displaystyle{ k_{min}=\frac{0}{\frac{\pi}{4}}=0\\
k_{max}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}=8}\)
Mamy więc zbiory:
\(\displaystyle{ A=\{x:\ x=\frac{k\pi}{2}\ ,k\in C\}\\
B=\{0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\cdots ,2\pi\}\\
\\
\underline{A\cap B=\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi\}}}\)