parę pytan dotyczacych rozwiązywania równań...

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kubastan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 27 mar 2006, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 31 razy

parę pytan dotyczacych rozwiązywania równań...

Post autor: kubastan »

Witam wszystkich
Chcialbym wam przedstawic pare nurtujacych mnie problemow, ktore ciagle napotykam podczas rozwiazywania rownan trygonometrycznych.
1.
Dla przykladu podam proste równanie:
\(\displaystyle{ ctgx=- \sqrt{3}}\)
Odczytuje z tablic ze \(\displaystyle{ ctg120 ^{0} = - \sqrt{3}}\) dlatego tez \(\displaystyle{ x_{0}}\) powinno wynosic \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\) Jednak z tyłu w odp widnieje \(\displaystyle{ x_{0}=- \frac{\pi}{3}}\) co wskazuje na to ze jednak powieniem wziasc ze \(\displaystyle{ ctg30 ^{0} = \sqrt{3}}\) co odpowiada wartosci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) tylko z minusem. Skad mam wiedziec kiedy brac wartosc katow wyzszych niz 90 stopni a kiedy nizszych tylko wtedy do miary lukowej dodac minus??? Mam nadzieje ze zrozumieliscie o co mi chodzi ;P

2.
Powiedzcie mi co tutaj zle robie:
\(\displaystyle{ sinx-cosx=0\\
sinx-sin( \frac{\pi}{2} -x)=0\\
2sin \frac{x- \frac{\pi}{2}+x }{2}cos \frac{x+ \frac{\pi}{2}-x }{2}=0 /:2 \\
sin \frac{x- \frac{\pi}{2}+x }{2}cos \frac{x+ \frac{\pi}{2}-x }{2}=0\\
sin \frac{2x- \frac{\pi}{2} }{2}=0 / 2 \ \ cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{2} 0\\
2sin(2x- \frac{\pi}{2} )=0\\
2x- \frac{\pi}{2}=t\\
sint=0
t _{o}=k\pi\\
2x- \frac{\pi}{2}=k\pi\\
x= \frac{\pi}{4}+ \frac{1}{2}k\pi\\}\)

A w odp jest \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4}+k\pi}\)
Cos musi byc z ta dwojka ktora zgubilem po drodze.Mozecie mi powiedziec co robie zle???
Z gory dzieki
arpa007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 948
Rejestracja: 24 mar 2007, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 235 razy

parę pytan dotyczacych rozwiązywania równań...

Post autor: arpa007 »

1) bierzesz wartosci z tablicy ktora posiada tlyko katy od \(\displaystyle{ }\)
ale jak ci sie uda zgadnac ze to kat jakis wiekszy to korzystasz ze wzorow redukcyjnych np.
\(\displaystyle{ \ctq(90^{o}+\alpha^{o})= -\tg\alpha}\)
wiesz, że tg i ctq ,mają te same wartości co \(\displaystyle{ 180^{o}}\) czyli co \(\displaystyle{ \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi - \pi= - \frac{1}{3}\pi}\)
Baca48
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 195
Rejestracja: 1 sty 2008, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 56 razy

parę pytan dotyczacych rozwiązywania równań...

Post autor: Baca48 »

W 6 linijce jest błąd.

Z wyrażenia \(\displaystyle{ sin (\frac{2x- \frac{\pi}{2} }{2})}\) nie możesz otrzymać \(\displaystyle{ 2(sin2x- \frac{\pi}{2})}\) Mnożąc razy dwa nie możesz mnożyć tego "pod" sinusem.

\(\displaystyle{ sin (\frac{2x- \frac{\pi}{2} }{2}) = 0}\)
\(\displaystyle{ sin(x- \frac{\pi}{4})=0}\)
\(\displaystyle{ x- \frac{\pi}{4}=k\pi}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi }{4} +k\pi}\)

[ Dodano: 22 Stycznia 2008, 21:28 ]
Dodam jeszcze, że takie równania typu sinx-cosx=0 można rozwiązać podnosząc równanie obustronnie do kwadratu (porządkując wpierw jako sinx=cosx), a następnie stosując wzór jedynkowy. Na końcu trzeba jednak sprawdzić powstałe rozwiązania, gdyż niektóre mogą nie spełniać równania.

Co do Twojego pierwszego problemu przejrzyj sobie forum i porób trochę zadań, a jakby co, to śmiało pytaj. Ja z reguły tłumaczę to tak, że wartość odczytujemy z zakresu kątów ostrych (ignorujemy minusy), czyli tak jak mój poprzednik pisał, dla

\(\displaystyle{ ctgx=- \sqrt{3}}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{6}}\)
Dalej jeśli rozwiązanie jest ujemne (tak jak tutaj) to mamy:
\(\displaystyle{ x = -\alpha + k\pi}\)
Jeżeli dodatnie to bez zmian:
\(\displaystyle{ x = + k\pi}\)

W zapamiętaniu tego znacznie pomaga wyobrażenie wykresów, gdyż wtedy nie musisz tego uczyć się na pamięć, bo to widzisz.

Mam nadzieję, że choć trochę tym pomogłem ;P

Pozdrawiam
arpa007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 948
Rejestracja: 24 mar 2007, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 235 razy

parę pytan dotyczacych rozwiązywania równań...

Post autor: arpa007 »

2) a nie LATWIEJ cosx=sinx
rysujesz sinusoide i cosinusoide i wystarczy ze znajdziesz jeden punkt wspolny;]
stykaja sie np. w polowie odcinka \(\displaystyle{ (0; \frac{\pi}{2}}\) czyli dla \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4}}\) i tu okres bedzie \(\displaystyle{ T=\pi}\)
czyli rozwiazanie:

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4}+k\pi}\), \(\displaystyle{ k C}\)

koniec zadania:P
Baca48
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 195
Rejestracja: 1 sty 2008, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 56 razy

parę pytan dotyczacych rozwiązywania równań...

Post autor: Baca48 »

Jak najbardziej poprawne jak dokładnie rysujesz Tak z reguły u mnie w LO nawet robili.
kubastan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 27 mar 2006, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 31 razy

parę pytan dotyczacych rozwiązywania równań...

Post autor: kubastan »

Dziekuje wszystkim za pomoc
ODPOWIEDZ