2 równania trygonometryczne

[AgnieszkaP]

1)
\(\displaystyle{ sinx * tgx - \sqrt{3} = tgx - \sqrt{3} *sinx}\)

2)
\(\displaystyle{ sin2x + cos2x +1 =0}\)

[gajatko]

1.)
\(\displaystyle{ \sin x * \tan x - \sqrt{3} = \tan x - \sqrt{3} *\sin x;\ x\neq {\pi\over 2}+k\pi}\)
Skorzystamy z tego, że
\(\displaystyle{ \tan x=\frac {\sin x}{\cos x}=\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^2 x}}}\)
Niech \(\displaystyle{ t=\sin x;\ t\in[-1,1]}\)

Wtedy otrzymujemy:
\(\displaystyle{ t\frac {t}{\sqrt {1-t^2}}-\sqrt 3=\frac {t}{\sqrt {1-t^2}}-\sqrt 3 t}\)
Potem mnożysz wszystko przez \(\displaystyle{ \sqrt {1-t^2}}\), przenosisz składniki z pierwiastkiem na jedną stronę, podnosisz do kwadratu i pozostaje równanie kwadratowe
2.)
\(\displaystyle{ \sin 2x + \cos 2x +1 =0\\
2\sin x\cos x+\cos ^2 x- \sin ^2 x + 1=0\\
2\cos x\sqrt{1-\cos ^2 x}+2\cos ^2 x=0\\
\cos ^2 x(1-\cos ^2 x)=\cos ^4 x=0\\}\)
Niech \(\displaystyle{ t=\cos^2 x;\ t\in [0,1]}\)
\(\displaystyle{ t-t^2=t^2\\
2t^2=t\\
1^o\quad t=0:\\
0+1+1=0}\)
- sprzeczność
\(\displaystyle{ 2^o\quad t\neq 0:\\
2t=1\\
t=\frac {1}{2}\\
\cos x=\pm\frac {\sqrt 2}{2}\\
x=\pm\frac {\pi}{4}+2k\pi;\ k\in C}\)