Twierdzenie sinusów i cosinusów zadanie.

[Yffan]

Wykaż ,że jeżeli w trójkącie \(\displaystyle{ sin ^{2} = sin ^{2} \beta + sin ^{2} (\alpha+\beta)}\) ,to trójkąt ten jest prostokątny.

Wiem ,że należy uzależnić sinusy kątów występujących w tezie od promienia okręgu opisanego na trójkącie i odpowiednich boków trójkąta i skorzystać z twierdzenia sinusów. Ale kompletnie nie mam pojęcia jak to zrobić .

[Lorek]

\(\displaystyle{ \sin (\alpha+\beta)=\sin (\pi-\gamma)=\sin \gamma}\)
czyli mamy równanie
\(\displaystyle{ \sin^2 =\sin^2\beta+\sin^2 \gamma}\)
z tw sinusów \(\displaystyle{ \frac{a}{2R}=\sin\alpha}\) itd. i mamy
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4R^2}=\frac{b^2}{4R^2}+\frac{c^2}{4R^2}}\)
razy \(\displaystyle{ 4R^2}\) i mamy Pitagorasa

[Yffan]

dziękuję.