Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów zadania

[vizzdoom]

1. Oblicz sin(alpha), cos(alpha), tg(alpha), jeśli:
\(\displaystyle{ \cos2\alpha=-\frac{1}{3},\alpha\in(\frac{3\Pi}{2},2\Pi)}\)

2. Oblicz
\(\displaystyle{ \sin(\frac{\Pi}{8})}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos(\frac{\Pi}{8})}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za wskazanie drogi rozwiązania.

[sztuczne zęby]

1. \(\displaystyle{ \cos 2 = 2 \cos^2 -1}\)
Łatwo więc wyliczysz cosinusa, później sinusa z jedynki trygonometrycznej i dalej bez problemu tangensa.
2. \(\displaystyle{ \sin 2 = 2 \sin \cos }\)
Czyli po przekształceniu i podstawieniu danych \(\displaystyle{ \frac{1}{2} = 4 \sin^2 \frac{\pi}{8}(1- sin^2 \frac{\pi}{8})}\).
No i pozostało rozwiązać to równanie i dalej z jedynki policzyć cosinusa.

[vizzdoom]

Dzięki

Mam jeszcze prośbę: mógłbyś rozwinąć wzór (tzn "zwinąć" )
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = 4 \sin^2 \frac{\pi}{8}(1- sin^2 \frac{\pi}{8})}\)

[sztuczne zęby]

No to dalej podstawiam: \(\displaystyle{ \sin^2 \frac{\pi}{8} = t}\)
Czyli rozwiązuje równanie \(\displaystyle{ 4t^2-4t+ \frac{1}{2} =0}\)
No i ono ma dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ t_1= \frac{2 - \sqrt{2} }{4} \quad t_2= \frac{2+ \sqrt{2} }{4}}\)
Można zauważyć, że do prawidłowej odpowiedzi prowadzi tylko to pierwsze (bo z drugiego wynika, że \(\displaystyle{ sin^2 \frac{\pi}{8} > sin^2 \frac{\pi}{4}}\) ). No i po wróceniu do podstawienia, wychodzą znowu dwa pierwiastki. Należy wybrać ten dodatni. Ostatecznie \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{8} = \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2}}\).