Rozwiąż rówananie trygonometryczne (kilka zadań)

[chef]

1. \(\displaystyle{ ctgx+tgx=\frac{4sqrt3}{3}}\)
2. \(\displaystyle{ tgx+ctgx=4sin2x}\)
3. \(\displaystyle{ (1-tgx)(1+sin2x)=1+tgx}\)
4. \(\displaystyle{ ctgx+ \frac{sinx}{1+cosx} = 2}\)
5. \(\displaystyle{ \frac{1-cos8x}{1+tgx}=0}\)

dzieki za wszelką pomoc

[bisz]

1. x =

[ 1/6*pi]
[ 1/3*pi]

3.x =

[ 1/4*pi]
[ 0]
[ pi]

4.x =

[ 1/6*pi]
[ 5/6*pi]

5.x =

[ 1/2*pi]
[ -1/2*pi]
[ 0]
[ pi]
[ 1/4*pi]
[ -3/4*pi]

[chef]

Tak tak, znam odpowiedzi

[olazola]

1)
\(\displaystyle{ \large \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{cos x}{\sin x}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\\4\sqrt{3}\sin x\cos x=3\\2\sin x\cos x=\frac{3}{2\sqrt{3}}\\\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
2)
\(\displaystyle{ \large \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{cos x}{\sin x}=4\sin 2x\\\frac{1}{\sin x\cos x}=4\sin 2x\\\frac{1}{2\sin x\cos x}=2\sin 2x\\\sin^{2}2x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
3)
\(\displaystyle{ \large \sin 2x-\tan x\sin 2x-2\tan x=0\\2\sin x\cos x-2\tan x\sin x\cos x-2\tan x=0\\\frac{\sin x\cos^2 x-\sin^2 x\cos x-sin x}{\cos x}=0\\\sin x\(cos^2 x-\cos x\sin x-1\)=0\\\cos^2 x-\cos x\sin x-1=0\ \ \sin x=0\\1-\sin^2 x-\cos x\sin x-1=0\\-\sin x\(\sin x+cos x\)=0\\\sin x+\cos x=0}\)

Na tyle wystarczylo mi cierpliwosci.

[Zlodiej]

4/

\(\displaystyle{ \cot{x}+\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=2}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos{x}}{\sin{x}}+\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=2}\)

\(\displaystyle{ \cos{x}+\sin^2{x}+\cos^2{x}=2\sin{x}+2\sin{x}\cos{x}}\)

\(\displaystyle{ (\cos{x}+1)(\sin{x}-\frac{1}{2})=0}\)

5/

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos{8x}}{1+\tan{x}}=0}\)

\(\displaystyle{ 1-\cos{8x}=0}\)

\(\displaystyle{ 2-2\cos^2{4x}=0}\)

\(\displaystyle{ (1-\cos{4x})(1+cos{4x})=0}\)

\(\displaystyle{ \cos^2{2x}(1-\cos^2{2x})=0}\)

\(\displaystyle{ \cos^2{2x}(1-\cos{2x})(1+\cos{2x})=0}\)

[W_Zygmunt]

5/

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos{8x}}{1+\tan{x}}=0\,\,\Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ 1-\cos{8x}=0}\) i
\(\displaystyle{ 1+\tan{x}\neq 0}\)

[chef]

4
\(\displaystyle{ (1-\cos{4x})(1+cos{4x})=0}\)

\(\displaystyle{ \cos^2{2x}(1-\cos^2{2x})=0}\)

Skąd to przejście ?

Pozdrawiam

[Zlodiej]

\(\displaystyle{ 1-\cos{4x}=1-(2\cos^2{2x}-1)=2(1-\cos^2{2x})}\)

\(\displaystyle{ 1+\cos{4x}=1+2\cos^2{2x}-1=2\cos^2{2x}}\)



Oczywiście chciałbym dodać, że ja nie robiłem żadnych założeń. Wiadomo chyba, że mianowniku muszą być różne od 0.

[W_Zygmunt]

Oczywiście chciałbym dodać, że ja nie robiłem żadnych założeń.

Ale powinno się choćby o tym wspomnieć, bo ktoś może uważać, że na fotum matematyka.pl uzyskuje fachową pomoc.