Uzasadnij, że sin2 alfa + sin2 beta + sin2gama = 1

[KtoTam]

Dany jest prostopadlościan. Niech α oznacza kąt, jaki przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy, a kąd β i kąt γ kąty, jakie tworzy ona ze ścianami.
Uzasadnij, że sin � α + sin � β + sin � γ =1

[DEXiu]

Zrób sobie ryzunek (chociaż lepszy by był model - więcej widać) i wskaż sinusy których kątów masz policzyć. Skorzystaj z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (w przypadku każdego z kątów będzie mozna tak dobrać trzeci bok żeby wyszedł ładny trójkąt prostokątny). Gdybyś miał problem z policzeniem odpowiednich długości boków trójkątów to podam, że jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ a,\,b,\,c}\) jako długości krawędzi prostopadłościanu, a \(\displaystyle{ d}\) jako długość przekątnej to nietrudno wyliczyć, że \(\displaystyle{ d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\), a stąd \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma=(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}})^{2}+(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}})^{2}+(\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}})^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=1}\)

cnd.