Równanie trygonometryczne

[barth]

Rozwiąż równanie.

\(\displaystyle{ \sin(\pi\log x)+\cos(\pi\log x)=0}\)

Zero pomysłu, jak to ugryźć...

[Piotr Rutkowski]

Najpierw dla ułatwienia:
\(\displaystyle{ \pi logx=t}\)
\(\displaystyle{ sint+cost=0}\)
\(\displaystyle{ (sint+cost)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}t+cos^{2}t+2sintcost=0}\)
\(\displaystyle{ 1+sin2t=0}\)
\(\displaystyle{ sin2t=-1}\) Powinno pomóc

[barth]

eee sorki ale źle przepisalem. Nie jest 0, tylko 1. Spróbowałem to rozwiązac ale wychodzą głupoty.

\(\displaystyle{ \sin(\pi \log x)+\cos(\pi \log x)=1 \\
t=\pi \log x \\
\sin t + \cos t=1 \\
(\sin t + \cos t)^{2}=1 \\
\sin^{2} t + 2\sin t \cos t + \cos^{2} t = 1 \\
2 \sin t \cos t = 0\\
\sin 2t=0\\
2 \pi \log x=0\\
\log x=0 \\
x=1}\)
wszystko siup tylko nie zgadza się z odpowiedziami w książce..

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ (sin2t=0)\Rightarrow 2t=k\pi \ k\in \mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ 2\pi logx=k\pi}\)
\(\displaystyle{ logx=\frac{k}{2}}\) Przy czym pamiętaj o dziedzinie logarytmu

[barth]

czyli
\(\displaystyle{ x=10^{\frac{k}{2}}}\)
?

To też nie jest dobrze.

[Piotr Rutkowski]

Wg mnie jest, ja nie dostrzegam błędu.

[barth]

ja też nie. Ale odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ x=10^{2k} \ lub \ x=10^{2k+0,5}, k \mathbb{Z}}\)

[Wasilewski]

To może inaczej spróbujmy:
\(\displaystyle{ sint + cost = 1 \\
sint + sin(\frac{\pi}{2} - t) = 1 \\
2sin\frac{\pi}{4}\cdot cos (t - \frac{\pi}{4}) = 1 \\
cos(t - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
t - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi t - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \\
t = (2k+\frac{1}{2})\pi t = 2k\pi \\
logx = 2k+\frac{1}{2} logx =2k \\
x = 10^{2k + \frac{1}{2}} x = 10^{2k}}\)

[barth]

pięknie, tylko pytanie czemu Tobie wyszło a nam nie? Gdzie był błąd?

[Wasilewski]

Pewnie, jak to zwykle bywa, nie można bezkarnie podnosić do kwadratu, aczkolwiek nie jestem pewien.

[barth]

możliwe, aczkolwiek jeśli coś jest równe 1, to w kwadracie też jest równe 1. No nic, dzięki. Obaj macie plusiki.

[Wasilewski]

Bardziej chodzi o lewą stronę, która może być równa -1, a przy podniesieniu do kwadratu wchodzi do rozwiązań.

[Qń]

Dlaczego się nie zgadza, wyjaśniam na przykładzie:

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x=1}\)
Podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ x^2=1}\)
To równanie ma dwa pierwiastki, zatem wyjściowe również ma dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=-1}\).

Mniej więcej takie rozumowanie zostało przeprowadzone .

Lub też mówiąc inaczej: pokazaliście, że jeśli x jest rozwiązaniem naszego równania, to jest postaci takiej jak Wam wyszła, ale nie pokazaliście, że jeśli x jest takiej postaci, to jest rozwiązaniem. A musi być wynikanie w obie strony. Rozwiązanie Wasilewskiego nie ma tej usterki, bo u niego cały czas jest równoważność.

Pozdrawiam.
Qń.