Równanie trygonometryczne

[ewuśka]

Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ \tg ^{2} \left( x+y \right) + \ctg ^{2} \left( x+y \right) = 1-2x-x^{2}}\)

[Qń]

Wskazówka: pokaż, że lewa strona jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 2}\), a lewa nie większa niż dwa - stąd obie strony muszą być równe \(\displaystyle{ 2}\). Da to nam stosowne warunki na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

Pozdrawiam.
Qń.

[ewuśka]

Mogę spytać dlaczego lewa strona jest nie mniejsza niż 2?

[Wasilewski]

Bo \(\displaystyle{ \tg ^{2} \left( x+y \right) = \frac{1}{\ctg ^{2} \left( x+y \right) }}\)
Jeśli podstawimy: \(\displaystyle{ a = \tg ^{2} \left( x+y \right)}\) to wystarczy udowodnić nierówność:
\(\displaystyle{ a + \frac{1}{a} \geqslant 2}\)

[ewuśka]

wiem, że to nie korepetycje, ale ja nadal nie rozumiem czemu tak...

Dzięki za pomoc wcześniejszą:)!

[*Kasia]

wiem, że to nie korepetycje, ale ja nadal nie rozumiem czemu tak...

Nie rozumiesz samego podstawienia czy nierówności?

Nierówność:
\(\displaystyle{ a+\frac{1}{a}\geqslant 2}\) wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \left( \sqrt{a}-\sqrt{\frac{1}{a}} \right) ^2\geqslant 0}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\)

[setch]

\(\displaystyle{ a+\frac1a q 2\\
a-2+\frac 1a q 0 \quad | \ a\\
a^2-2a+1 q 0\\
(a-1)^2 q 0 \bigwedge\limits_{a 0} a+\frac1a q 2}\)