Rozwiąż równanie trygonometryczne sin{2x}=cos{4x}

[kwasimir]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin{2x}=\cos{4x}}\) przy zastosowaniu wzorów redukcyjnych (być może to kiepski przykład, ale ja cienki jestem z tego działu :/ ).




REGULAMIN-Zlodiej

Temat...Poprawiam...Ostrzeżenie...

[florek177]

sin2x=cos4x

\(\displaystyle{ \;cos(4x)=cos^{2}(2x)-sin^{2}(2x)\;}\); a \(\displaystyle{ \;cos^{2}(2x)=1-sin^{2}(2x)\;}\); więc otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \;2sin^{2}(2x)+sin^{2}(2x)-1=0\;}\); podstawiamy \(\displaystyle{ \;sin(2x)=t\;}\); i mamy \(\displaystyle{ \;2t^{2}+t-1=0\;}\); \(\displaystyle{ \;t_{1}=-1\;}\); lub \(\displaystyle{ \;t_{2}=\frac{1}{2}\;}\);

więc \(\displaystyle{ \;sin(2x)=-1\;}\); --> \(\displaystyle{ \;2x=\frac{3\pi}{2}\;}\); --> \(\displaystyle{ \;x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\;}\);

oraz \(\displaystyle{ \;sin(2x)=\frac{1}{2}\;}\); --> \(\displaystyle{ \;2x=\frac{\pi}{6}\;}\); lub \(\displaystyle{ \;2x=\frac{5\pi}{6}\;}\); --> \(\displaystyle{ \;x=\frac{\pi}{12}+k\pi\;}\);lub \(\displaystyle{ \;x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\;}\)

[g]

a po cholere. wystarczy \(\displaystyle{ \sin 2x = \sin ft( {\pi \over 2} - 4x \right)}\) - znacznie mniej roboty.

[paulgray]

g, i do tego przy wykorzystaniu proszonych w zadaniu wzorów redukcyjnych;)

[kwasimir]

sin2x=cos4x

\(\displaystyle{ \;cos(4x)=cos^{2}(2x)-sin^{2}(2x)\;}\); a \(\displaystyle{ \;cos^{2}(2x)=1-sin^{2}(2x)\;}\);

[Zlodiej]

To pierwsze to ze wzoru:

\(\displaystyle{ \cos{2x}=(\cos{x})^2-(\sin{x})^2}\)

Natomiast to drugie to jedynka trygonometryczna:

\(\displaystyle{ (\sin{x})^2+(\cos{x})^2=1}\)