Witam, oto przykład
2sin \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) \(\displaystyle{ < \sqrt{3}}\)
odpowiedz powinna wygladac tak : X ( ... )
Nie wiem też jak powinien wyglądać wykres
Pozdrawiam
Nierówności trygonometryczne / zadanie
-
Poodzian
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 62 razy
Nierówności trygonometryczne / zadanie
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2}}\), dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=p}\), zatem:
\(\displaystyle{ \sin p}\), jednak przed tym rozważmy równanie
\(\displaystyle{ \sin p=\frac{\sqrt{3}}{2}}\), dla \(\displaystyle{ p=\frac{\pi}{3}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ p=-\frac{4\pi}{3}+2k\pi}\), i wracając do wcześniejszego założenia:
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=p}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}+2k\pi=\frac{x}{2}}\) lub \(\displaystyle{ -\frac{4\pi}{3}+2k\pi=\frac{x}{2}}\), zatem
\(\displaystyle{ x=\frac{2\pi}{3}+4k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{8\pi}{3}+4k\pi}\)
I te właśnie \(\displaystyle{ x}\) będą 'granicami' rozwiązania nierówności
\(\displaystyle{ x\in (-\frac{8\pi}{3}+4k\pi ;\frac{2\pi}{3}+4k\pi)}\)
Co zaś tyczy się wykresu \(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2}}\)...
...będzie nim sinusoida, którą 'rozciągniemy' wzdłuż osi \(\displaystyle{ x}\) dwa razy (zważywszy na \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)) i też dwa razy rozciągniemy wzdłuż osi \(\displaystyle{ y}\) (zważywszy na dwójkę stojąca przed sinusem)
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=p}\), zatem:
\(\displaystyle{ \sin p}\), jednak przed tym rozważmy równanie
\(\displaystyle{ \sin p=\frac{\sqrt{3}}{2}}\), dla \(\displaystyle{ p=\frac{\pi}{3}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ p=-\frac{4\pi}{3}+2k\pi}\), i wracając do wcześniejszego założenia:
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=p}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}+2k\pi=\frac{x}{2}}\) lub \(\displaystyle{ -\frac{4\pi}{3}+2k\pi=\frac{x}{2}}\), zatem
\(\displaystyle{ x=\frac{2\pi}{3}+4k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{8\pi}{3}+4k\pi}\)
I te właśnie \(\displaystyle{ x}\) będą 'granicami' rozwiązania nierówności
\(\displaystyle{ x\in (-\frac{8\pi}{3}+4k\pi ;\frac{2\pi}{3}+4k\pi)}\)
Co zaś tyczy się wykresu \(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2}}\)...
...będzie nim sinusoida, którą 'rozciągniemy' wzdłuż osi \(\displaystyle{ x}\) dwa razy (zważywszy na \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)) i też dwa razy rozciągniemy wzdłuż osi \(\displaystyle{ y}\) (zważywszy na dwójkę stojąca przed sinusem)