zbiór wartości

[Kwiatek29]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=sin^4x+cos^4x}\), gdzie\(\displaystyle{ x R}\)

[dabros]

to powinno pomóc:
\(\displaystyle{ f(x)=(\sin^{2}x+\cos^{2}x)^{2}-2( \sin x \cos x)^{2}=1-2(\sin x \cos x)^{2}}\)

[Kwiatek29]

do tej postaci to i ja doszlam ale co dalej

[dabros]

dokonujesz podstawienia:
\(\displaystyle{ a=\sin x \cos x}\)
i konstruujesz f. kwadratową:
\(\displaystyle{ f(x)=1-2a^{2}}\) która wartość największą przyjmuje w wierzchołku
\(\displaystyle{ f_{max}(x)=1}\)
dalej pomyśl trochę sama

[soku11]

\(\displaystyle{ 1-2(sinxcosx)^2=1-\frac{(2sinxcosx)^2}{2}=1-\frac{1}{2}sin^22x\\
-1\leqslant sinx qslant 1\\
-1\leqslant sin2x qslant 1\\
0\leqslant sin^22x qslant 1\\
0\leqslant \frac{1}{2}sin^22x qslant \frac{1}{2}\\
0\geqslant -\frac{1}{2}sin^22x qslant -\frac{1}{2}\\
1\geqslant 1-\frac{1}{2}sin^22x qslant \frac{1}{2}\\
1\geqslant f(x)\geqslant \frac{1}{2}}\)

POZDRO