Zadanie z parametrem.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Ag5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 gru 2007, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 4 razy

Zadanie z parametrem.

Post autor: Ag5 »

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ n}\) równanie \(\displaystyle{ n + 5x + \cos(x-\frac{5}{2}) = x^{2} + 6}\) :
a) nie ma ani jednego rozwiązania,
b) ma dokładnie jedno rozwiązanie?
Znajdź to rozwiąznie

Zadanie rozwiązałem tylko w jakiś (chyba) dziwny sposób:
1. Przekształciłem: \(\displaystyle{ \cos(x-\frac{5}{2}) = x^{2} - 5x + 6 - n}\)
2. Uwzględniając zbiór wartości \(\displaystyle{ \cos(x-\frac{5}{2})}\):
\(\displaystyle{ x^{2} - 5x + 7 qslant n}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - 5x + 5 qslant n}\)
3.Teraz takie dziwne założenia:
Skoro \(\displaystyle{ x^{2} - 5x + 7}\) nie ma rozwiązań, a \(\displaystyle{ x^{2} - 5x + 5}\) to rozpatruję tylko 2 przypadek.
4. Obliczam wierzchołek \(\displaystyle{ x^{2} - 5x + 5}\) - \(\displaystyle{ W = (\frac{5}{2} ; -\frac{5}{4})}\)
5. Miejsca zerowe \(\displaystyle{ f(x) = x^{2} - 5x + 5}\) to \(\displaystyle{ x_{1} 3,618 ; x_{2} 1,832}\) więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Aby \(\displaystyle{ n qslant x^{2} - 5x + 5}\) \(\displaystyle{ n}\) musi być większe lub równe \(\displaystyle{ -\frac{5}{4}}\), więc jeśli \(\displaystyle{ n < -\frac{5}{4}}\) to równanie nie ma rozwiązań (czyli odpowiedziałem na pytanie z a) )
6. Równanie \(\displaystyle{ x^{2} - 5x + 5}\) ma jedno rozwiązanie (widać z wykresu) tylko dla \(\displaystyle{ n = -\frac{5}{4}}\), a taką wartość funkcja przyjmuje w punkcie \(\displaystyle{ x = (0;2,5)}\) więc dla tej wartości paramatru \(\displaystyle{ x_{0} = 2,5}\)

Proszę o jakiś normalniejszy, honorowany przez egzaminatorów sposób rozwiązania.
Awatar użytkownika
dabros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1121
Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 4 razy

Zadanie z parametrem.

Post autor: dabros »

myślę, że twój sposób jest jak najbardziej formalny
ODPOWIEDZ